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设A=E+αβT,其中α=[α1,α2,…,αn]T≠0,β=[b1,b2,…,bn]T≠0,且αTβ=2. 求A的特征值和特征向量;
设A=E+αβT,其中α=[α1,α2,…,αn]T≠0,β=[b1,b2,…,bn]T≠0,且αTβ=2. 求A的特征值和特征向量;
admin
2021-07-27
512
问题
设A=E+αβ
T
,其中α=[α
1
,α
2
,…,α
n
]
T
≠0,β=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
≠0,且α
T
β=2.
求A的特征值和特征向量;
选项
答案
设(E+αβ
T
)ξ=λξ.① ①式两端左乘β
T
,得β
T
(E+αβ
T
)ξ=(β
T
+β
T
αβ
T
)ξ=(1+β
T
α)β
T
ξ=λβ
T
ξ.若β
T
ξ≠0,则λ=1+β
T
α=3;若β
T
ξ=0,则由①式,得λ=1.当λ=1时,[*]即[b
1
,b
2
,…,b
n
]x=0,因α≠0,β≠0,设b
1
≠0,则η
1
=[b
2
-b
1
,0,…,0]
T
,ξ
2
[b
3
,0,-b
1
,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[b
n
,0,…,0,-b
1
]
T
;故属于特征值λ=1的全体特征向量为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-1
ξ
n-
,其中k
1
,k
2
,…,k
n-1
为不全为零的任意常数.当λ=3时,(3E-A)x=(2Eαβ
T
)x=0,ξ
n
=α-[α
1
,α
2
…,α
n
]
T
.故属于特征值λ=3的全体特征向量为k
n
ξ
n
,k
n
为任意非零常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7Uy4777K
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考研数学二
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