2. 考研
  3. 设A=E+αβT，其中α=[α1，α2，…，αn]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2． 求A的特征值和特征向量；

设A=E+αβT，其中α=[α1，α2，…，αn]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2． 求A的特征值和特征向量；

admin2021-07-27  514
问题 设A=E+αβT，其中α=[α1，α2，…，αn]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2．
求A的特征值和特征向量；
选项
答案设(E+αβT)ξ=λξ．① ①式两端左乘βT，得βT(E+αβT)ξ=(βT+βTαβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ．若βTξ≠0，则λ=1+βTα=3；若βTξ=0，则由①式，得λ=1．当λ=1时，[*]即[b1，b2，…，bn]x=0，因α≠0，β≠0，设b1≠0，则η1=[b2-b1，0，…，0]T，ξ2[b3，0，-b1，…，0]T，…，ξn-1=[bn，0，…，0，-b1]T；故属于特征值λ=1的全体特征向量为k1ξ1+k2ξ2+…+kn-1ξn-，其中k1，k2，…，kn-1为不全为零的任意常数．当λ=3时，(3E-A)x=(2EαβT)x=0，ξn=α-[α1，α2…，αn]T．故属于特征值λ=3的全体特征向量为knξn，kn为任意非零常数．
解析
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考研数学二

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