2. 考研
  3. 甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为α，乙胜的概率为β(α+β=1)，比赛进行到一人比另一人多2分为止，多2分者最终获胜．求甲、乙最终获胜的概率．比赛是否有可能无限地一直进行下去?

甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为α，乙胜的概率为β(α+β=1)，比赛进行到一人比另一人多2分为止，多2分者最终获胜．求甲、乙最终获胜的概率．比赛是否有可能无限地一直进行下去?

admin2016-09-19  77
问题 甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为α，乙胜的概率为β(α+β=1)，比赛进行到一人比另一人多2分为止，多2分者最终获胜．求甲、乙最终获胜的概率．比赛是否有可能无限地一直进行下去?
选项
答案设A=｛甲最终获胜｝，B=｛乙最终获胜｝．在前两次比赛中，若“甲连胜两个回合”，记为C1，则P(A｜C1)=1；若“乙连胜两个回合”，记为C2，则P(A｜C2)=0；若“甲、乙各胜一个回合”，记为C3，则前两个回合打平，从第三回合起，比赛相当于从头开始一样，所以 P(A｜C3)=P(A)． 显然 P(C1)=α2，P(C2)=β2，P(C3)=2αβ， 由全概率公式 P(A)=P(A｜C1)P(C1)+P(A｜C2)P(C2)+P(A｜C3)P(C3) =α2+0+2αβP(A) 得P(A)=[*]．同理有 P(B)=P(B｜C1)P(C1)+P(B｜C2)P(C2)+P(B｜C3)P(C3) =0+β2+2αβP(B)， 可得P(B)=[*]．因 P(A)+P(B)=[*]=1， 所以以概率为1地相信：比赛不会无限地一直进行下去，或甲最终获胜，或乙最终获胜．
解析
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考研数学三

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