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甲、乙两人比赛射击,每个射击回合中取胜者得1分,假设每个射击回合中,甲胜的概率为α,乙胜的概率为β(α+β=1),比赛进行到一人比另一人多2分为止,多2分者最终获胜.求甲、乙最终获胜的概率.比赛是否有可能无限地一直进行下去?
甲、乙两人比赛射击,每个射击回合中取胜者得1分,假设每个射击回合中,甲胜的概率为α,乙胜的概率为β(α+β=1),比赛进行到一人比另一人多2分为止,多2分者最终获胜.求甲、乙最终获胜的概率.比赛是否有可能无限地一直进行下去?
admin
2016-09-19
59
问题
甲、乙两人比赛射击,每个射击回合中取胜者得1分,假设每个射击回合中,甲胜的概率为α,乙胜的概率为β(α+β=1),比赛进行到一人比另一人多2分为止,多2分者最终获胜.求甲、乙最终获胜的概率.比赛是否有可能无限地一直进行下去?
选项
答案
设A={甲最终获胜},B={乙最终获胜}.在前两次比赛中,若“甲连胜两个回合”,记为C
1
,则P(A|C
1
)=1;若“乙连胜两个回合”,记为C
2
,则P(A|C
2
)=0;若“甲、乙各胜一个回合”,记为C
3
,则前两个回合打平,从第三回合起,比赛相当于从头开始一样,所以 P(A|C
3
)=P(A). 显然 P(C
1
)=α
2
,P(C
2
)=β
2
,P(C
3
)=2αβ, 由全概率公式 P(A)=P(A|C
1
)P(C
1
)+P(A|C
2
)P(C
2
)+P(A|C
3
)P(C
3
) =α
2
+0+2αβP(A) 得P(A)=[*].同理有 P(B)=P(B|C
1
)P(C
1
)+P(B|C
2
)P(C
2
)+P(B|C
3
)P(C
3
) =0+β
2
+2αβP(B), 可得P(B)=[*].因 P(A)+P(B)=[*]=1, 所以以概率为1地相信:比赛不会无限地一直进行下去,或甲最终获胜,或乙最终获胜.
解析
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考研数学三
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