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已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2． 求an和bn；
已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2． 求an和bn；
admin
2019-06-01
9
问题
已知数列{a
n
}和{b
n
}满足a
1
a
2
a
3
…a
n
=(√2)
b
n
(n∈N
*
)．若{a
n
}为等比数列，且a
1
=2，b
3
=6+b
2
．
求a
n
和b
n
；
选项
答案
∵a
1
a
2
a
3
…a
n
=(√2)
b
n
(n∈N
*
)①，当n≥2，n∈N
*
时，a
1
a
2
a
3
…a
n-1
=(√2)
b
n-1
②，由①②知： a
n
=(√2)
b
n
-b
n-1
，令n=3，则有a
3
=(√2)
b
3
-b
2
．∵b
3
=6+b
2
，∴a
3
=8．∵{a
n
}为等比数列，且a
1
=2， ∴{a
n
}的公比为q，则q
2
=[*]=4，由题意知a
n
＞0，∴ q＞0，∴q=2．∴a
n
=2
n
(n∈N
*
)．又由a
1
a
2
a
3
…a
n
=(√2)
b
n
(n∈N
*
)得：2
1
×2
2
×2
3
…×2
n
=(√2)
b
n
，[*]=(√2)
b
n
,∴b
n
=n(n+1)(n∈N
*
)．
解析
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