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已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2. 求an和bn;
已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2. 求an和bn;
admin
2019-06-01
10
问题
已知数列{a
n
}和{b
n
}满足a
1
a
2
a
3
…a
n
=(√2)
b
n
(n∈N
*
).若{a
n
}为等比数列,且a
1
=2,b
3
=6+b
2
.
求a
n
和b
n
;
选项
答案
∵a
1
a
2
a
3
…a
n
=(√2)
b
n
(n∈N
*
)①,当n≥2,n∈N
*
时,a
1
a
2
a
3
…a
n-1
=(√2)
b
n-1
②,由①②知: a
n
=(√2)
b
n
-b
n-1
,令n=3,则有a
3
=(√2)
b
3
-b
2
.∵b
3
=6+b
2
,∴a
3
=8.∵{a
n
}为等比数列,且a
1
=2, ∴{a
n
}的公比为q,则q
2
=[*]=4,由题意知a
n
>0,∴ q>0,∴q=2.∴a
n
=2
n
(n∈N
*
).又由a
1
a
2
a
3
…a
n
=(√2)
b
n
(n∈N
*
)得:2
1
×2
2
×2
3
…×2
n
=(√2)
b
n
,[*]=(√2)
b
n
,∴b
n
=n(n+1)(n∈N
*
).
解析
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