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设f(x)为连续的偶函数,F(x)为f(x)的原函数,且∫-11F(x)dx=0,求F(x).
设f(x)为连续的偶函数,F(x)为f(x)的原函数,且∫-11F(x)dx=0,求F(x).
admin
2017-05-31
69
问题
设f(x)为连续的偶函数,F(x)为f(x)的原函数,且∫
-1
1
F(x)dx=0,求F(x).
选项
答案
由f(x)为连续的偶函数可知,∫
0
x
f(t)dt=为奇函数,且F(x)=∫
0
x
f(t)dt+c
0
又 ∫
-1
1
F(x)dx=∫
-1
1
[∫
0
x
f(t)dt+c
0
]dx=2c
0
=0, 所以,F(x)=∫
0
x
f(t)dt.
解析
若f(x)连续,则由
F(一x)=∫
0
-x
f(t)dt
∫
0
u
f(一u)du
可知,f(x)为连续的奇(偶)函数<=>F(x)为偶(奇)函数.
对f(x)的任一原函数有:
(1)f(x)为连续的奇函数<=>∫
a
x
f(t)dt为偶函数.
(2)f(x)为连续的偶函数时,∫
a
x
f(t)dt是奇函数<=>∫
-a
a
f(x)dx=0.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7iu4777K
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考研数学一
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