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  3. 设f(x)为连续的偶函数，F(x)为f(x)的原函数，且∫－11F(x)dx=0，求F(x)．

设f(x)为连续的偶函数，F(x)为f(x)的原函数，且∫－11F(x)dx=0，求F(x)．

admin2017-05-31  100
问题 设f(x)为连续的偶函数，F(x)为f(x)的原函数，且∫－11F(x)dx=0，求F(x)．
选项
答案由f(x)为连续的偶函数可知，∫0xf(t)dt=为奇函数，且F(x)=∫0xf(t)dt+c0 又 ∫－11F(x)dx=∫－11[∫0xf(t)dt+c0]dx=2c0=0， 所以，F(x)=∫0xf(t)dt．
解析 若f(x)连续，则由
    F(一x)=∫0－xf(t)dt∫0uf(一u)du
可知，f(x)为连续的奇(偶)函数<=>F(x)为偶(奇)函数．
  对f(x)的任一原函数有：
  (1)f(x)为连续的奇函数<=>∫axf(t)dt为偶函数．
  (2)f(x)为连续的偶函数时，∫axf(t)dt是奇函数<=>∫－aaf(x)dx=0．
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考研数学一

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