设f(x)为连续的偶函数,F(x)为f(x)的原函数,且∫-11F(x)dx=0,求F(x).

admin2017-05-31  50

问题 设f(x)为连续的偶函数,F(x)为f(x)的原函数,且∫-11F(x)dx=0,求F(x).

选项

答案由f(x)为连续的偶函数可知,∫0xf(t)dt=为奇函数,且F(x)=∫0xf(t)dt+c0 又 ∫-11F(x)dx=∫-11[∫0xf(t)dt+c0]dx=2c0=0, 所以,F(x)=∫0xf(t)dt.

解析 若f(x)连续,则由
    F(一x)=∫0-xf(t)dt0uf(一u)du
可知,f(x)为连续的奇(偶)函数<=>F(x)为偶(奇)函数.
  对f(x)的任一原函数有:
  (1)f(x)为连续的奇函数<=>∫axf(t)dt为偶函数.
  (2)f(x)为连续的偶函数时,∫axf(t)dt是奇函数<=>∫-aaf(x)dx=0.
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