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已知3阶矩阵A的第一行是(a,6,c),a,b,c不全为零,矩阵(k为常数),且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解.
已知3阶矩阵A的第一行是(a,6,c),a,b,c不全为零,矩阵(k为常数),且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解.
admin
2013-04-04
69
问题
已知3阶矩阵A的第一行是(a,6,c),a,b,c不全为零,矩阵
(k为常数),且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解.
选项
答案
由AB=0知r(A)+r(B)≤3,又A≠0,B≠0,故 1≤r(A)≤2, 1≤r(B)≤2. (1)若r(A)=2,必有r(B)=1,此时k=9. 方程组Ax=0的通解是t(1,2,3)
T
,其中t为任意实数. (2)若r(A)=1,则Ax=0的同解方程组是ax
1
+bx
2
+cx
3
=0且满足 如果c≠0,方程组的通解是t
1
(c,0,-a)
T
+t
2
(0,c,-b)
T
,其中t
1
,t
2
为任意实数; 如果c=0,方程组的通解是t
1
(1,2,0)
T
+t
2
(0,0,1)
T
,其中t
1
,t
2
为任意实数. (1)如果k≠9,则秩r(B)=2.由AB=0知r(A)+r(B)≤3.因此,秩r(A)=1, 所以Ax=0的通解是t
1
(1,2,3)
T
+t
2
(3,6,k)
T
,其中t
1
,t
2
为任意实数. (2)如果k=9,则秩r(B)=1,那么,秩f(A)=1或2. 若r(A)=2,则Ax=0的通解是t(1,2,3)
T
,其中t为任意实数. 若r(A)=1,对ax
1
+bx
2
+cx
3
=0,设c≠0,则方程组的通解是t
1
(c,0,-a)
T
+t
2
(0,c,-b)
T
.
解析
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考研数学一
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