设二维随机变量(U,V)~N,记X=U-bV,Y=V. (Ⅰ)问当常数b为何值时,X与Y独立? (Ⅱ)求(X,Y)的密度函数f(x,y).

admin2020-03-10  45

问题 设二维随机变量(U,V)~N,记X=U-bV,Y=V.
  (Ⅰ)问当常数b为何值时,X与Y独立?
  (Ⅱ)求(X,Y)的密度函数f(x,y).

选项

答案(Ⅰ)由于X=U-bV,Y=V,且[*]=1≠0,故(X,Y)服从二维正态分布,所以X 与Y独立等价于X与Y不相关,即Cov(X,Y)=0,从而有 Cov(U-bV,V)=0,Cov(U,V)-bDV=0,即[*] 解得b=1,即当b=1时,X与Y独立. (Ⅱ)由正态分布的性质知X=U-V服从正态分布,且 EX=EU-EV=2-2=0, DX=D(U-V)=DU+DV-2Cov(U,V)=4+1-2.[*] 所以X~N(0,3),同理Y=V~N(2,1). 又因为X与Y独立,故 [*]

解析
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