已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy＂(x，y)dxdy。

admin2019-01-19 71

问题已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，

f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=

xyf_xy＂(x，y)dxdy。

选项

答案将二重积分[*]xyf_xy＂(x，y)dxdy转化为累次积分可得 [*]xyf_xy＂(x，y)dxdy=∫₀¹dy∫₀¹xyf_xy＂(x，y)dx。首先考虑∫₀¹xyf_xy＂(x，y)dx，注意这里把变量y看作常数，故有 ∫₀¹xyf_xy＂(x，y)dx=y∫₀¹xdf_y＇(x，y) =xyf_y＇(x,y)|₀¹一∫₀¹yf_y＇(x，y)dx =yf_y＇(1，y)一∫₀¹yf_y＇(x，y)dx。由f(1，y)=f(x，1)=0易知f_y＇(1，y)=f_x＇(x，1)=0 。所以 ∫₀¹xyf_xy＂(x，y)dx=－∫₀¹yf_y＇(x，y)dx。因此[*]xyf_xy＂(x，y)dxdy=∫₀¹dy∫₀¹xyf_xy＂(x，y)dx=一∫₀¹dy∫₀¹yf_y＇(x，y)dx，对该积分交换积分次序可得，一∫₀¹dy∫₀¹yf_y＇(x，y)dx=一∫₀¹dx∫₀¹yf_y＇(x,y)dy 再考虑积分∫₀¹yf_y＇(x，y)dy，注意这里把变量x看作常数，故有 ∫₀¹yf_y＇(x，y)dy=∫₀¹ydf(x，y)=yf(x，y)|₀¹一∫₀¹f(x，y)dy=一∫₀¹f(x，y)dy，因此[*]xyf_xy＂(x,y)dxdy=一∫₀¹dx∫₀¹yf_y＇(x,y)dy=∫₀¹dx∫₀¹f(x,y)dy=[*]f(x，y)dxdy=a。

解析

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考研数学三

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已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy＂(x，y)dxdy。

考研数学三

设区域D1为以(0，0)，(1，1)，(0，)，(，1)为顶点的四边形，D2为以(，0)，(1，0)，(1，)为顶点的三角形，而D由D1与D2合并而成．随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布，求关于X、Y的边缘密度fX(χ)、fY(y)．

求下列微分方程通解：1)y〞＋2y′－3y＝e－3χ2)y〞－3y′＋2y＝χeχ3)y〞＋y＝χcosχ4)y〞＋4y′＋4y＝eaχ(a为实数)

设f(u)具有二阶连续导数，而z＝(eχsiny)满足方程＝ze2χ，求f(u)＝_______．

设向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αn线性无关．

设某产品的总成本函数为C(χ)＝400＋3χ＋χ2而需求函数p＝，其中χ为产量(假定等于需求量)，p为价格，试求：1)边际成本为___；2)边际收益为_；3)边际利润为_____；

求解微分方程满足条件y(0)=0的特解．

设分段函数f(x，y)=f(x，y)dxdy，其中积分区域D={(x，y)｜x2+y2≥2x}．

求二重积分I=(x+y)2dxdy，其中积分区域D={(x，y)｜0≤ay≤x2+y2≤2ay，a＞0}．

设二阶线性微分方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)有三个特解y1=ex，y2=ex+，y3=ex+e—x，则该方程为_________．

对于氨系统中的管道、设备试压标准，低压系统为()MPa。

下列气体中哪种更易引起化学性肺水肿

下列关于投资项目经济分析中经济费用与效果度量的表述，正确的是______。

可以作为构想效度证据的包括()。

已知函数f(x)=sinx+ex+x2010，令f1(x)=f＇(x)，f2(x)=f＇1(x)，f3(x)=f＇2(x)，…，fn+1(x)=f＇n(x)，则f2011(x)=()

下列选项中，符合所给图形的变化规律的是______。

具有认知思想的心理学家有

WhatistheWomandoing?

GeneticEngineeringisaradicalandrapidlydevelopingtechnologythattouchesourlivesthroughitsapplicationinmedicine,f

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy＂(x，y)dxdy。

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设区域D1为以(0，0)，(1，1)，(0，)，(，1)为顶点的四边形，D2为以(，0)，(1，0)，(1，)为顶点的三角形，而D由D1与D2合并而成．随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布，求关于X、Y的边缘密度fX(χ)、fY(y)．

求下列微分方程通解：1)y〞＋2y′－3y＝e－3χ2)y〞－3y′＋2y＝χeχ3)y〞＋y＝χcosχ4)y〞＋4y′＋4y＝eaχ(a为实数)

设f(u)具有二阶连续导数，而z＝(eχsiny)满足方程＝ze2χ，求f(u)＝_______．

设向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αn线性无关．

设某产品的总成本函数为C(χ)＝400＋3χ＋χ2而需求函数p＝，其中χ为产量(假定等于需求量)，p为价格，试求：1)边际成本为_______；2)边际收益为_______；3)边际利润为_______；

求解微分方程满足条件y(0)=0的特解．

设分段函数f(x，y)=f(x，y)dxdy，其中积分区域D={(x，y)｜x2+y2≥2x}．

求二重积分I=(x+y)2dxdy，其中积分区域D={(x，y)｜0≤ay≤x2+y2≤2ay，a＞0}．

设二阶线性微分方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)有三个特解y1=ex，y2=ex+，y3=ex+e—x，则该方程为_________．

对于氨系统中的管道、设备试压标准，低压系统为()MPa。

下列气体中哪种更易引起化学性肺水肿

下列关于投资项目经济分析中经济费用与效果度量的表述，正确的是______。

可以作为构想效度证据的包括()。

已知函数f(x)=sinx+ex+x2010，令f1(x)=f＇(x)，f2(x)=f＇1(x)，f3(x)=f＇2(x)，…，fn+1(x)=f＇n(x)，则f2011(x)=()

下列选项中，符合所给图形的变化规律的是______。

具有认知思想的心理学家有

WhatistheWomandoing?

GeneticEngineeringisaradicalandrapidlydevelopingtechnologythattouchesourlivesthroughitsapplicationinmedicine,f

设某产品的总成本函数为C(χ)＝400＋3χ＋χ2而需求函数p＝，其中χ为产量(假定等于需求量)，p为价格，试求：1)边际成本为___；2)边际收益为_；3)边际利润为_____；