2. 考研
  3. 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy＂(x，y)dxdy。

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy＂(x，y)dxdy。

admin2019-01-19  104
问题 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy＂(x，y)dxdy。
选项
答案将二重积分[*]xyfxy＂(x，y)dxdy转化为累次积分可得 [*]xyfxy＂(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyfxy＂(x，y)dx。 首先考虑∫01xyfxy＂(x，y)dx，注意这里把变量y看作常数，故有 ∫01xyfxy＂(x，y)dx=y∫01xdfy＇(x，y) =xyfy＇(x,y)|01一∫01yfy＇(x，y)dx =yfy＇(1，y)一∫01yfy＇(x，y)dx。 由f(1，y)=f(x，1)=0易知fy＇(1，y)=fx＇(x，1)=0 。所以 ∫01xyfxy＂(x，y)dx=－∫01yfy＇(x，y)dx。 因此[*]xyfxy＂(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyfxy＂(x，y)dx=一∫01dy∫01yfy＇(x，y)dx， 对该积分交换积分次序可得， 一∫01dy∫01yfy＇(x，y)dx=一∫01dx∫01yfy＇(x,y)dy 再考虑积分∫01yfy＇(x，y)dy，注意这里把变量x看作常数，故有 ∫01yfy＇(x，y)dy=∫01ydf(x，y)=yf(x，y)|01一∫01f(x，y)dy=一∫01f(x，y)dy， 因此[*]xyfxy＂(x,y)dxdy=一∫01dx∫01yfy＇(x,y)dy=∫01dx∫01f(x,y)dy=[*]f(x，y)dxdy=a。
解析
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考研数学三

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