已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy＂(x，y)dxdy。

admin2019-01-19 77

问题已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，

f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=

xyf_xy＂(x，y)dxdy。

选项

答案将二重积分[*]xyf_xy＂(x，y)dxdy转化为累次积分可得 [*]xyf_xy＂(x，y)dxdy=∫₀¹dy∫₀¹xyf_xy＂(x，y)dx。首先考虑∫₀¹xyf_xy＂(x，y)dx，注意这里把变量y看作常数，故有 ∫₀¹xyf_xy＂(x，y)dx=y∫₀¹xdf_y＇(x，y) =xyf_y＇(x,y)|₀¹一∫₀¹yf_y＇(x，y)dx =yf_y＇(1，y)一∫₀¹yf_y＇(x，y)dx。由f(1，y)=f(x，1)=0易知f_y＇(1，y)=f_x＇(x，1)=0 。所以 ∫₀¹xyf_xy＂(x，y)dx=－∫₀¹yf_y＇(x，y)dx。因此[*]xyf_xy＂(x，y)dxdy=∫₀¹dy∫₀¹xyf_xy＂(x，y)dx=一∫₀¹dy∫₀¹yf_y＇(x，y)dx，对该积分交换积分次序可得，一∫₀¹dy∫₀¹yf_y＇(x，y)dx=一∫₀¹dx∫₀¹yf_y＇(x,y)dy 再考虑积分∫₀¹yf_y＇(x，y)dy，注意这里把变量x看作常数，故有 ∫₀¹yf_y＇(x，y)dy=∫₀¹ydf(x，y)=yf(x，y)|₀¹一∫₀¹f(x，y)dy=一∫₀¹f(x，y)dy，因此[*]xyf_xy＂(x,y)dxdy=一∫₀¹dx∫₀¹yf_y＇(x,y)dy=∫₀¹dx∫₀¹f(x,y)dy=[*]f(x，y)dxdy=a。

解析

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考研数学三

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已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy＂(x，y)dxdy。

考研数学三

设f，g为连续可微函数，u＝f(χ，χy)，v＝g(χ＋χy)，求＝_______．

已知3阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，矩阵B＝(k为常数)，且AB＝O，求线性方程组Aχ＝0的通解．

求下列微分方程通解：1)y〞＋2y′－3y＝e－3χ2)y〞－3y′＋2y＝χeχ3)y〞＋y＝χcosχ4)y〞＋4y′＋4y＝eaχ(a为实数)

已知二次曲面方程χ2＋ay2＋z2＋2bχy＋2χz＋2yz＝4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2＋4ζ2＝4．求a，b的值和正交矩阵P．

曲线渐近线的条数为

曲线y=ex与该曲线过原点的切线及y轴所围成的平面图形绕．y轴旋转一周所得的旋转体的体积为__________．

已知A=[α1，α2，α3，α4]是4阶矩阵，β是4维列向量，若方程组Ax=β的通解是(1，2，2，1)T+k(1，一2，4，0)T，又B=[α3，α2，α1，β一α4]，求方程组Bx=α1—α2的通解．

设η是非齐次方程组AX=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn—r是对应齐次方程组AX=0的基础解系．令η0=η，η1=ξ1+η，η2=ξ2+η，…，ηn—r=ξn—r+η*．证明：非齐次方程的任一解η都可表示成η=μ0η0+μ0η

计算二重积分I=，其中积分区域D={(x，y)｜x2+y2≤R2}．

给出满足下列条件的微分方程：(Ⅰ)方程有通解y=(C1+C2x+x—1)e—x；(Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解y1=cos2x一xsin2x．

出版物发行企业的质量管理不包括()。

下列化合物中与硝酸银的乙醇溶液反应，最先生成溴化银沉淀的是()。

疫苗生产企业、疫苗批发企业应当在其供应的纳入国家免疫规划疫苗的最小外包装的显著位置标明

在建设项目土地资源论证中要求进行用地合理性分析，主要包括土地利用的适宜性分析、土地利用的合法性分析和()等。

关于简支梁板安装就位的技术要求，正确的有()。

按CPT贸易术语成交，卖方转移给买方货物风险的时间为()

客户管理的基本内容，一是要开发新客户，二是要管好会员客户。()

运动员：裁判

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设η*是非齐次方程组AX=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn—r是对应齐次方程组AX=0的基础解系．令η0=η*，η1=ξ1+η*，η2=ξ2+η*，…，ηn—r=ξn—r+η*．证明：非齐次方程的任一解η都可表示成η=μ0η0+μ0η

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