2. 考研
  3. 设Am×n，r(A)=m，Bn×(n一m)，r(B)=n一m，且满足关系AB=O．证明：若η是齐次线性方程组AX=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

设Am×n，r(A)=m，Bn×(n一m)，r(B)=n一m，且满足关系AB=O．证明：若η是齐次线性方程组AX=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

admin2017-12-23  68
问题 设Am×n，r(A)=m，Bn×(n一m)，r(B)=n一m，且满足关系AB=O．证明：若η是齐次线性方程组AX=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．
选项
答案将B按列分块，设B=[β1，β2，…，βn一m]，因已知AB=O，故知B的每一列均是AX=0的解，由r(A)=m，r(B)=n一m知，β1，β2，…，βn一m是AX=0的基础解系． 若η是AX=0的解向量，则η可由基础解系β1，β2，…，βn一m线性表出，且表出法唯一，即 η=x1β1+x2β2+…+xn一mβn一m=[β1，β2，…，βn一m][*]=Bξ，即存在唯一的ξ，使Bξ=η．
解析
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考研数学二

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