设A为m×n矩阵,对n元非齐次线性方程组AX=b,下列结论正确的是( ).

admin2016-03-26  28

问题 设A为m×n矩阵,对n元非齐次线性方程组AX=b,下列结论正确的是(    ).

选项 A、若AX=0只有零解,则Ax=b一定有唯一解
B、若Ax=0有非零解,则AX=b有无穷多个解
C、若r(A)=m,则Ax=b一定有唯一解
D、若Ax=b有两个线性无关解,则AX=0一定有非零解

答案D

解析 方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是r(A)=n,而方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是r(A)=r()=n,(A)不对;
AX=0有非零解的充分必要条件是r(A)<n,而方程组AX=b有无穷个解的充分必要条件
是r(A)=r(A)<n,(B)不对;
若r(A)=m,则方程组AX=b一定有解,但不一定有唯一解,(C)不对;
若AX=b有两个线性无关解,则r(A)=r()<n,从而r(A)<n,于是方程组AX=0有非零解,选(D).
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