求解下列方程： (Ⅰ)求方程χy〞＝y′lny′的通解； (Ⅱ)求yy〞＝2(y′2－y′)满足初始条件y(0)＝1，y′＝(0)＝2的特解．

admin2019-05-11 41

问题求解下列方程：
(Ⅰ)求方程χy〞＝y′lny′的通解；
(Ⅱ)求yy〞＝2(y^′2－y′)满足初始条件y(0)＝1，y′＝(0)＝2的特解．

选项

答案(Ⅰ)此方程不显含y．令p＝y′，则原方程化为χp′＝plnp．当p≠1时，可改写为[*]，其通解为 ln｜lnp｜＝ln｜χ｜＋C′，即lnp＝C₁χ，即y′＝[*]．这样，原方程的通解即为y＝[*]＋C₂，其中C₁≠0，C₂为任意常数．当P＝1时，也可以得到一族解y＝χ＋C₃． (Ⅱ)此方程不显含χ．令p＝y′，且以y为自变量，[*]，原方程可化为yp[*]＝2(p²－p)．当p≠0时，可改写为y[*]＝2(p－1)或[*]，解为p－1＝C₁y²．再利用P＝y′，以及初始条件，可推出常数C₁＝1．从而上述方程为变量可分离的方程 y′＝1＋y²[*]其通解为y＝tan(χ＋C₂)．再一次利用初始条件y(0)＝1，即得C₂＝[*]．所以满足初始条件的特解为y＝tan(χ＋[*])．

解析

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考研数学二

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设直线y=ax+b为曲线y=ln(x+2)的切线，若y=ax+b，x=0，x=4及曲线y=ln(x+2)围成的图形面积最小，求a，b的值．

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