2. 考研
  3. 求解下列方程： (Ⅰ)求方程χy〞＝y′lny′的通解； (Ⅱ)求yy〞＝2(y′2－y′)满足初始条件y(0)＝1，y′＝(0)＝2的特解．

求解下列方程： (Ⅰ)求方程χy〞＝y′lny′的通解； (Ⅱ)求yy〞＝2(y′2－y′)满足初始条件y(0)＝1，y′＝(0)＝2的特解．

admin2019-05-11  88
问题 求解下列方程：
    (Ⅰ)求方程χy〞＝y′lny′的通解；
    (Ⅱ)求yy〞＝2(y′2－y′)满足初始条件y(0)＝1，y′＝(0)＝2的特解．
选项
答案(Ⅰ)此方程不显含y．令p＝y′，则原方程化为χp′＝plnp． 当p≠1时，可改写为[*]，其通解为 ln｜lnp｜＝ln｜χ｜＋C′，即lnp＝C1χ，即y′＝[*]． 这样，原方程的通解即为y＝[*]＋C2，其中C1≠0，C2为任意常数． 当P＝1时，也可以得到一族解y＝χ＋C3． (Ⅱ)此方程不显含χ．令p＝y′，且以y为自变量，[*]，原方程可化为yp[*]＝2(p2－p)． 当p≠0时，可改写为y[*]＝2(p－1)或[*]，解为p－1＝C1y2． 再利用P＝y′，以及初始条件，可推出常数C1＝1．从而上述方程为变量可分离的方程 y′＝1＋y2[*]其通解为y＝tan(χ＋C2)． 再一次利用初始条件y(0)＝1，即得C2＝[*]．所以满足初始条件的特解为y＝tan(χ＋[*])．
解析
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考研数学二

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