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设f(x)具有二阶导数,且fˊˊ(x)>0.又设u(t)在区间[0,a](或[a,0])上连续.证明:
设f(x)具有二阶导数,且fˊˊ(x)>0.又设u(t)在区间[0,a](或[a,0])上连续.证明:
admin
2016-09-13
50
问题
设f(x)具有二阶导数,且fˊˊ(x)>0.又设u(t)在区间[0,a](或[a,0])上连续.证明:
选项
答案
由泰勒公式 f(x)=f(x
0
)+fˊ(x
0
)(x-x
0
)+[*]fˊˊ(ξ)(x-x
0
)
2
≥f(x
0
)+fˊ(x
0
)(x-x
0
),ξ介于x与x
0
之间. 以x=u(t)代入并两边对t从0到a积分,其中暂设a>0,于是有 ∫
0
a
f[u(t)]dt≥af(x
0
)+fˊ(x
0
)[∫
0
a
u(t)dt-x
0
a]. 取x
0
=[*]∫
0
a
u(t)dt,于是得 ∫
0
a
f[u(t)]dt≥af[*] 即有 [*] 若a<0,则有 ∫
0
a
f[u(t)]dt≤af(x
0
)+fˊ(x
0
)[∫
0
a
u(t)dt-x
0
a]. 仍取x
0
=[*]∫
0
a
u(t)dt,有 [*]∫
0
a
f[u(t)]dt≥f(x
0
)=[*]
解析
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0
考研数学三
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