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设f(χ)在(χ0-δ,χ0+δ)有n阶连续导数,且f(k)(χ0)=0,k=2,3,…,n-1;f(n)(χ0)≠0.当0<|h|<δ时,f(χ0+h)-f(χ0)=hf′(χ0+θh),(0<θ<1).求证:.
设f(χ)在(χ0-δ,χ0+δ)有n阶连续导数,且f(k)(χ0)=0,k=2,3,…,n-1;f(n)(χ0)≠0.当0<|h|<δ时,f(χ0+h)-f(χ0)=hf′(χ0+θh),(0<θ<1).求证:.
admin
2018-11-11
37
问题
设f(χ)在(χ
0
-δ,χ
0
+δ)有n阶连续导数,且f
(k)
(χ
0
)=0,k=2,3,…,n-1;f
(n)
(χ
0
)≠0.当0<|h|<δ时,f(χ
0
+h)-f(χ
0
)=hf′(χ
0
+θh),(0<θ<1).求证:
.
选项
答案
这里m=1,求的是f(χ
0
+h)-f(χ
0
)=hf′(χ
0
+θh)(0<θ<1)当h→0时中值θ的极限.为解出θ,按题中条件,将f′(χ
0
+θh)在χ=χ
0
展成带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式得 [*] 代入原式得 f(χ
0
+h)-f(χ
0
)=hf′(χ
0
)+[*]f
(n)
(χ
0
)θ
n-1
h
n
+o(h
n
) ① 再将f(χ
0
+h)在χ=χ
0
展成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式 f(χ
0
+h)-f(χ
0
)=f′(χ
0
)h+…+[*]f
(n)
(χ)h
n
+o(h
n
) =f′(χ
0
)h+[*]f
(n)
(χ
0
)h
n
+o(h
n
)(h→0) ② 将②代入①后两边除以h
h
得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8Dj4777K
0
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