2. 考研
  3. 设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f’（x）≥0，g’（x）≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。

设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f’（x）≥0，g’（x）≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。

admin2017-12-29  75
问题 设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f’（x）≥0，g’（x）≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。
选项
答案设 F（x）=∫0xg（t）f’（t）dt+∫01f（t）g’（t）dt一f（x）g（1）， 则F（x）在[0，1]上的导数连续，并且 F’（x）= g（x）．f’（x）—f’（x）g（1）=f’（x）[g（x）一g（1）]。 由于x∈[0，1]时，f’（x）≥0，g’（x）≥0，因此F’（x）≤0，即F（x）在[0，1]上单调递减。 注意到 F（1）=∫01g（t）f’（t）dt +∫01（t）g’（t）dt —f（1）g（1），故 F（1）=0。 因此x∈[0，1]时，F（x）≥F（1）=0，由此可得对任何a∈[0，1]，有 ∫0ag（x）f’（x）dx+f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。 ∫0ag（x）f’（x）dx =g（x）f’（x）|0a一∫0af（x）g’（x）dx =f（a）g（a）一 ∫0af（x）g’（x）dx， ∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x） dx =f（a）g（a）一∫0af（x）g’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx = f（a）g（a）+∫a1f（x）g’（x）dx， 由于x∈[0，1]时，g’（x）≥0，因此 f（x）g’（x）≥f（a）g’（x），x∈[a，1]， ∫a1f（x）g’（z）dx≥∫01f（a）g’（x）dx=f（a）[g（1）—g（a）]， 从而 ∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（a）+f（a）[g（1） —g（a）]=f（a）g（1）。
解析
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考研数学三

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