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如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
admin
2015-12-09
11
问题
如图,三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中,CA=CB,AB=AA
1
,∠BAA
1
=60°.
(1)证明:AB⊥A
1
C;
(2)若平面ABC⊥平面AA
1
B
1
B,AB=CB=2,求直线A
1
C与平面BB
1
C
1
C所成角的正弦值.
选项
答案
(1)过C点作CD⊥AB于D,连接A
1
D. 因为AC=BC,CD⊥AB,所以D为AB的中点. 又因为在三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中,AB=AA
1
,且∠BAA
1
=60°, 所以△AA
1
B是正三角形,所以A
1
D⊥AB. 因为A
1
D与CD交于D点,所以AB⊥平面A
1
DC. 又因为A
1
C[*]平面A
1
DC,所以AB⊥A
1
C. [*] (2)如图所示建立空间直角坐标系, 因为AB=CB=CA=AA
1
=2, 所以点C坐标为(0,0,[*]),B(-1,0,0),B
1
(-2,[*],0), C
1
(-1,[*],A
1
(0,[*],0) 所以[*] 设平面BB
1
C
1
C的法向量n=(χ,y,z),则[*]. 设χ=[*],则法向量n=([*],1,-1), 又因为CA
1
=(0,[*]), 所以向量CA
1
与法向量n的夹角α的余弦值为cosα=[*] 故CA
1
与平面BB
1
C
1
C的夹角的正弦值为[*] [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8UGq777K
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小学数学
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