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已知A是三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,满足Aα1=一α1—3α2—3α3,Aα2=4α1+α2+α3,Aα3=—α1+3α3。 (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求矩阵A的特征向量; (Ⅲ)求矩阵A*一6E的秩。
已知A是三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,满足Aα1=一α1—3α2—3α3,Aα2=4α1+α2+α3,Aα3=—α1+3α3。 (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求矩阵A的特征向量; (Ⅲ)求矩阵A*一6E的秩。
admin
2017-01-18
35
问题
已知A是三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的三维列向量,满足Aα
1
=一α
1
—3α
2
—3α
3
,Aα
2
=4α
1
+α
2
+α
3
,Aα
3
=—α
1
+3α
3
。
(Ⅰ)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求矩阵A的特征向量;
(Ⅲ)求矩阵A
*
一6E的秩。
选项
答案
(Ⅰ)由已知条件可得 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(一α
1
—3α
2
—3α
3
,4α
1
+4α
2
+α
3
,一2α
1
+3α
3
) =(α
1
,α
2
,α
3
)[*]。 记B=[*],P
1
=(α
1
,α
2
,α
3
),由α
1
,α
2
,α
3
线性无关可知矩阵P
1
可逆,且P
1
—1
AP
1
=B,所以A与B相似。 矩阵B的特征多项式|λE—B|=(λ一1)(λ一2)(λ一3),所以矩阵B的特征值是 1,2,3,从而矩阵A的特征值也是1,2,3。 (Ⅱ)由(λ
i
E—B)x=0可得对应于特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=3的一个特征向量分别为 β
1
=(1,1,1)
T
,β
2
=(2,3,3)
T
,β
3
=(1,3,4)
T
。 [*] 令P=P
1
P
2
,则P的列向量就是矩阵A属于特征值1,2,3的特征向量,而 P=(α
1
,α
2
,α
3
)(β
1
,β
2
,β
3
)=(α
1
+α
2
+α
3
,2α
1
+3α
2
+3α
3
,α
1
+3α
2
+4α
3
), 所以矩阵A属于特征值1,2,3的特征向量分别为 k
1
(α
1
+α
2
+α
3
),k
2
(2α
1
+3α
2
+3α
3
),k
3
(α
1
+3α
2
+4α
3
),k
i
≠0(i=1,2,3)。 (Ⅲ)因为矩阵A的特征值为1,2,3,所以由A
*
A=|A|E可知A
*
的特征值为6,3,2,则A
*
一6E的特征值为0,一3,一4,故秩r(A
*
一6E)=2。
解析
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考研数学二
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