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设α1=(1,3,5,一1)T,α2=(2,7,a,4)T,α3=(5,17,一1,7)T. ① 若α1,α2,α3线性相关,求a. ② 当a=3时,求与α1,α2,α3都正交的非零向量α4. ③ 设a=3,α4是与α1,α2,α3都正交的非零向量,
设α1=(1,3,5,一1)T,α2=(2,7,a,4)T,α3=(5,17,一1,7)T. ① 若α1,α2,α3线性相关,求a. ② 当a=3时,求与α1,α2,α3都正交的非零向量α4. ③ 设a=3,α4是与α1,α2,α3都正交的非零向量,
admin
2016-07-21
96
问题
设α
1
=(1,3,5,一1)
T
,α
2
=(2,7,a,4)
T
,α
3
=(5,17,一1,7)
T
.
① 若α
1
,α
2
,α
3
线性相关,求a.
② 当a=3时,求与α
1
,α
2
,α
3
都正交的非零向量α
4
.
③ 设a=3,α
4
是与α
1
,α
2
,α
3
都正交的非零向量,证明α
1
,α
2
,α
3
,α
4
可表示任何一个4维向量.
选项
答案
① α
1
,α
2
,α
3
线性相关,则r(α
1
,α
2
,α
3
)<3. [*] 得a=一3. ② 与α
1
,α
2
,α
3
都正交的非零向量即齐次方程组[*]的非零解,解此方程组: [*] 解得α
4
=c(19,一6,0,1)
T
,c≠0. ③ 只用证明α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,此时对任何4维向量α,有α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α线性相关,从而α可以用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示.由①知,a=3时,α
1
,α
2
,α
3
线性无关,只用证明α
4
不能用α
1
,α
2
,α
3
线性表示.用反证法,如果α
4
能用α
1
,α
2
,α
3
线性表示,设α
4
=c
1
α
1
+c
2
α
2
+c
3
α
3
,则(α
4
,α
4
)=(α
4
,c
1
α
1
+c
2
α
2
+c
3
α
3
)=c
1
(α
4
,α
1
)+c
2
(α
4
,α
2
)+c
3
(α
4
,α
3
)=0,得α
4
=0,与α
4
是非零向量矛盾.
解析
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考研数学二
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