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设f(x)在[a，b]上二阶可导，且恒有f’’(x)＜0，证明：若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根．
设f(x)在[a，b]上二阶可导，且恒有f’’(x)＜0，证明：若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根．
admin
2018-10-17
49
问题
设f(x)在[a，b]上二阶可导，且恒有f
’’
(x)＜0，证明：若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根．
选项
答案
按题意，不需要证明根的存在性，只需证明f(x)=0若在(a，b)内有根，则最多有两个根． 用反证法，设f(x)在(a，b)内有三个根x
1
，x
2
，x
3
，且设a＜x
1
＜x
2
＜x
3
＜b，即有 f(x
1
)=f(x
2
)=f(x
3
)=0， 现分别在区间[x
1
，x
2
]与[x
2
，x
3
]上应用罗尔定理，有 f
’
(ζ
1
)=0，ζ
1
∈(x
1
，x
2
)；f
’
(ζ
2
)=0，ζ
2
∈(x
2
，x
3
)， 又f
’
(x)在[ζ
1
，ζ
2
]上也显然满足罗尔定理条件，于是有f
’’
(ζ)=0，ζ∈(ζ
1
，ζ
2
)[*](a，b)，这与假设f
’’
(x)＜0矛盾，故f(x)=0在(a，b)内最多有两个根．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8e3C777K
本试题收录于：
高等数学一题库成考专升本分类
0
高等数学一
成考专升本
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