设f(x)在[a，b]上二阶可导，且恒有f’’(x)＜0，证明：若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根．

admin2018-10-17 74

问题设f(x)在[a，b]上二阶可导，且恒有f^’’(x)＜0，证明：若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根．

选项

答案按题意，不需要证明根的存在性，只需证明f(x)=0若在(a，b)内有根，则最多有两个根．用反证法，设f(x)在(a，b)内有三个根x₁，x₂，x₃，且设a＜x₁＜x₂＜x₃＜b，即有 f(x₁)=f(x₂)=f(x₃)=0，现分别在区间[x₁，x₂]与[x₂，x₃]上应用罗尔定理，有 f^’(ζ₁)=0，ζ₁∈(x₁，x₂)；f^’(ζ₂)=0，ζ₂∈(x₂，x₃)，又f^’(x)在[ζ₁，ζ₂]上也显然满足罗尔定理条件，于是有f^’’(ζ)=0，ζ∈(ζ₁，ζ₂)[*](a，b)，这与假设f^’’(x)＜0矛盾，故f(x)=0在(a，b)内最多有两个根．

解析

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