设f(x)在[a,b]上二阶可导,且恒有f’’(x)<0,证明:若方程f(x)=0在(a,b)内有根,则最多有两个根.

admin2018-10-17  33

问题 设f(x)在[a,b]上二阶可导,且恒有f’’(x)<0,证明:若方程f(x)=0在(a,b)内有根,则最多有两个根.

选项

答案按题意,不需要证明根的存在性,只需证明f(x)=0若在(a,b)内有根,则最多有两个根. 用反证法,设f(x)在(a,b)内有三个根x1,x2,x3,且设a<x1<x2<x3<b,即有 f(x1)=f(x2)=f(x3)=0, 现分别在区间[x1,x2]与[x2,x3]上应用罗尔定理,有 f1)=0,ζ1∈(x1,x2);f2)=0,ζ2∈(x2,x3), 又f(x)在[ζ1,ζ2]上也显然满足罗尔定理条件,于是有f’’(ζ)=0,ζ∈(ζ1,ζ2)[*](a,b),这与假设f’’(x)<0矛盾,故f(x)=0在(a,b)内最多有两个根.

解析
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