2. 专升本
  3. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且恒有f’’(x)＜0，证明：若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根．

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且恒有f’’(x)＜0，证明：若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根．

admin2018-10-17  48
问题 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且恒有f’’(x)＜0，证明：若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根．
选项
答案按题意，不需要证明根的存在性，只需证明f(x)=0若在(a，b)内有根，则最多有两个根． 用反证法，设f(x)在(a，b)内有三个根x1，x2，x3，且设a＜x1＜x2＜x3＜b，即有 f(x1)=f(x2)=f(x3)=0， 现分别在区间[x1，x2]与[x2，x3]上应用罗尔定理，有 f’(ζ1)=0，ζ1∈(x1，x2)；f’(ζ2)=0，ζ2∈(x2，x3)， 又f’(x)在[ζ1，ζ2]上也显然满足罗尔定理条件，于是有f’’(ζ)=0，ζ∈(ζ1，ζ2)[*](a，b)，这与假设f’’(x)＜0矛盾，故f(x)=0在(a，b)内最多有两个根．
解析
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