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设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且=2,f(1)=1,f(2)=6.证明:存在ξ∈(0,2),使得(ξ)=9.
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且=2,f(1)=1,f(2)=6.证明:存在ξ∈(0,2),使得(ξ)=9.
admin
2016-03-26
32
问题
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且
=2,f(1)=1,f(2)=6.证明:存在ξ∈(0,2),使得
(ξ)=9.
选项
答案
由[*]=2,得f(0)=0,f(0)=2. 作多项式P(x)=Ax
3
+Bx
2
+Cx+D,使得P(0)=0,P’(0)=2,P(1)=1,P(2)=6, 解得A=[*],B=一[*],C=2,D=0. 令φ(x)=f(x)-([*]) 则φ(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0. 因此φ(x)在[0,1]和[1,2]上都满足罗尔定理的条件,则存在ξ
1
∈(0,1),ξ
2
∈(1,2),使得[*](ξ
1
)=[*](ξ
2
)=0. 又[*](0)=0,由罗尔定理,存在η
1
∈(0,ξ
1
),η
2
∈(ξ
1
,ξ
2
),使得[*](η
1
)=[*](η
2
)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(η
1
,η
2
)[*](0,2),使得[*](ξ)=0.而[*](x)=[*](x)=9,所以[*](ξ)=9.
解析
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考研数学三
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