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设f(χ)在[a,b]上连续,且f〞(χ)>0,对任意的χ1,χ2∈[a,b]及0<λ<1,证明:f[λχ1+(1-λ)χ2]≤λf(χ1)+(1-λ)f(χ2).
设f(χ)在[a,b]上连续,且f〞(χ)>0,对任意的χ1,χ2∈[a,b]及0<λ<1,证明:f[λχ1+(1-λ)χ2]≤λf(χ1)+(1-λ)f(χ2).
admin
2017-09-15
108
问题
设f(χ)在[a,b]上连续,且f〞(χ)>0,对任意的χ
1
,χ
2
∈[a,b]及0<λ<1,证明:f[λχ
1
+(1-λ)χ
2
]≤λf(χ
1
)+(1-λ)f(χ
2
).
选项
答案
令χ
0
=λχ
1
+(1-λ)χ
2
,则χ
0
∈[a,b],由泰勒公式得 f(χ)=f(χ
0
)+f′(χ
0
)(χ-χ
0
)+[*](χ-χ
0
)
2
,其中ξ介于χ
0
与χ之间, 因为f〞(χ)>0,所以f(χ)≥f(χ
0
)+f′(χ
0
)(χ-χ
0
), 于是[*] 两式相加,得f[λχ
1
+(1-λ)χ
2
]≤λf(χ
1
)+(1-λ)f(λ
2
).
解析
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0
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