在抛物线x=y2的张口内作圆心在P0(x0，0)的圆(x0＞0)与上述抛物线相切，即两曲线在切点处有相同的切线，如图1—3—1所示． (1)求出该圆的半径． (2)当点P0在正x轴上移动时，求这种圆的最小半径．

admin2015-08-28 100

问题在抛物线x=y²的张口内作圆心在P₀(x₀，0)的圆(x₀＞0)与上述抛物线相切，即两曲线在切点处有相同的切线，如图1—3—1所示．

(1)求出该圆的半径．
(2)当点P₀在正x轴上移动时，求这种圆的最小半径．

选项

答案(1)如图1—3—1，设抛物线x=y²与圆的切点为P(x，y)．由隐函数的微分法，在x=y²两边对x求导，得 1=2yy’，即[*] 所以，过点P(x，y)的两曲线的公切线的斜率 [*] 又此公切线与PP₀垂直，PP₀的斜率[*]即 [*] 所以 x=x₀一[*] 注意到P(x，y)在曲线x=y²上，得 [*] 由此可得内切圆半径(勾股定理) [*] (2)当P点在正x轴上移动时，将r视为x₀的函数求极值，令 [*] 即r为x₀的单调增函数．因为x₀∈[[*]，+∞)，所以r在x₀=[*]处取得最小值[*]

解析

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在抛物线x=y2的张口内作圆心在P0(x0，0)的圆(x0＞0)与上述抛物线相切，即两曲线在切点处有相同的切线，如图1—3—1所示． (1)求出该圆的半径． (2)当点P0在正x轴上移动时，求这种圆的最小半径．

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