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  3. 设矩阵，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同，但不相似的是( )

设矩阵，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同，但不相似的是( )

admin2015-12-22  81
问题 设矩阵，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同，但不相似的是(    )
   
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 两矩阵等秩必等价，正、负惯性指数相同才合同．如果正、负惯性指数相同，且特征值也相同，则相似．依据这些，可确定正确选项．
    解   
由
       
可知矩阵A的特征值是3，一3，0，故秩(A)=2．二次型XTAX的正、负惯性指数均为1．
    (A)中矩阵的秩为1，不可能与矩阵A等价；
    (C)中矩阵的特征值为3，一3，0，与矩阵A不仅等价、合同，而且也相似，不符合题意．
    而(B)中矩阵的特征值为1，4，0，正惯性指数为p=2，负惯性指数q=0，与A既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)．
    对于(D)，记其矩阵为D，由
       
可知D的特征值为1，一1，0．XTAX与XTDX的正、负惯性指数一样，所以它们合同，但不相似(因特征值不同)．
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考研数学二

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