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设矩阵,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同,但不相似的是( )
设矩阵,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同,但不相似的是( )
admin
2015-12-22
62
问题
设矩阵
,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同,但不相似的是( )
选项
A、
B、
C、
D、
答案
D
解析
两矩阵等秩必等价,正、负惯性指数相同才合同.如果正、负惯性指数相同,且特征值也相同,则相似.依据这些,可确定正确选项.
解
由
可知矩阵A的特征值是3,一3,0,故秩(A)=2.二次型X
T
AX的正、负惯性指数均为1.
(A)中矩阵的秩为1,不可能与矩阵A等价;
(C)中矩阵的特征值为3,一3,0,与矩阵A不仅等价、合同,而且也相似,不符合题意.
而(B)中矩阵的特征值为1,4,0,正惯性指数为p=2,负惯性指数q=0,与A既不合同也不相似,但等价(因为秩相等).
对于(D),记其矩阵为D,由
可知D的特征值为1,一1,0.X
T
AX与X
T
DX的正、负惯性指数一样,所以它们合同,但不相似(因特征值不同).
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考研数学二
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