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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=0，f()=1．证明存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=0，f()=1．证明存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1

admin2015-12-11  9
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=0，f()=1．证明存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1
选项
答案构造函数F(z)=f(x)-x，则F(x)在[0，1]上连续，且[*] F(1)=-1<0，由零点定理知，在[[*]，1]内存在一点x0，使F(x0)=0．又因函数F(x)在[0，x0]上连续，在(0，x0)内可导，且F(0)=F(x0)=0． 所以满足罗尔条件，故存在一点ξ∈(0，x0)[*](0，1)，使F’(ξ)=0，即f’(ξ)-1=0，所以存在一点ξ∈(0．1)．使f’(ξ)=1成立
解析
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