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设二次型f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1,2,则( )
设二次型f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1,2,则( )
admin
2021-01-25
53
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=a(x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
)+2x
1
x
2
+2x
2
x
3
+2x
1
x
3
的正、负惯性指数分别为1,2,则( )
选项
A、a>1
B、a<-2
C、-2<a<1
D、a=1或a=-2
答案
C
解析
1 先来求二次型的矩阵A的特征值,由
[/]
=(λ-a-2)(λ-a+1)
2
=0
得A的全部特征值为λ
1
=λ
2
=a-1,λ
3
=a+2,由题设条件知有两个特征值小于零,有一个特征值大于零,所以a-1<0<a+2,由此-2<a<1,故只有选项C正确.
2 由于二次型矩阵A=
的每行元素之和都等于a+2,所以λ
1
=a+2是A的一个特征值,设A的另外两个特殊性征值是λ
2
,λ
3
,由题设条件知一个特征值为正,两个特征值为负,因此λ
1
λ
2
λ
3
>0,再由特征值的性质知
因此λ
1
=a+2>0,得a>-2,于是λ
2
,λ
3
都小于零,
由(1)得λ
2
+λ
3
=3a-λ
1
=3a-(a+2)=2a-2<0,得a<1,综合可得-2<a<1.
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考研数学三
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