2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则( )

设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则( )

admin2021-01-25  36
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则(    )
选项 A、a＞1
B、a＜－2
C、－2＜a＜1
D、a=1或a=－2
答案C
解析 1 先来求二次型的矩阵A的特征值，由
[/]
=(λ－a－2)(λ－a+1)2=0
得A的全部特征值为λ1=λ2=a－1，λ3=a+2，由题设条件知有两个特征值小于零，有一个特征值大于零，所以a－1＜0＜a+2，由此－2＜a＜1，故只有选项C正确．
2 由于二次型矩阵A=的每行元素之和都等于a+2，所以λ1=a+2是A的一个特征值，设A的另外两个特殊性征值是λ2，λ3，由题设条件知一个特征值为正，两个特征值为负，因此λ1λ2λ3＞0，再由特征值的性质知

因此λ1=a+2＞0，得a＞－2，于是λ2，λ3都小于零，
由(1)得λ2+λ3=3a－λ1=3a－(a+2)=2a－2＜0，得a＜1，综合可得－2＜a＜1．
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考研数学三

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