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  3. 已知η1，η2，η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是

已知η1，η2，η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是

admin2015-04-30  56
问题 已知η1，η2，η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是
选项 A、η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4—η1．
B、η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4+η1．
C、η1+η2，η2+η3，η3—η4，η4—η1．
D、η1，η2，η3，η4的等价向量组．
答案A
解析 等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关，例如向量组η1，η2，η3，η4，η1+η2与向量组η1，η2，η3，η4等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系．故(D)不正确，(B)、(C)均线性相关，因此不能是基础解系．故(B)与(C)也不正确．
    注意到：(η1+η2)一(η2—η3)一(η3—η4)一(η4+η1)=0，
    (η1+η2)一(η2+η3)+(η3—η4)+(η4—η1)=0，
唯有(A)，η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4—η1是Ax=0的解，又由
    (η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4—η1)=(η1，η2，η3，η4)，
    且=2≠0，知η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4—η1线性无关，且向量个数与η1，η2，η3，η4相同．所以(A)也是Ax=0的基础解系．故选A．
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考研数学二

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