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设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 (1)问X,Y是否独立? (2)分别求U=X2和V=Y2的密度函数fU(u)和fV(v),并指出(U,V)服从的分布; (3)求P(U2+V2≤1).
设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 (1)问X,Y是否独立? (2)分别求U=X2和V=Y2的密度函数fU(u)和fV(v),并指出(U,V)服从的分布; (3)求P(U2+V2≤1).
admin
2016-12-16
22
问题
设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
(1)问X,Y是否独立?
(2)分别求U=X
2
和V=Y
2
的密度函数f
U
(u)和f
V
(v),并指出(U,V)服从的分布;
(3)求P(U
2
+V
2
≤1).
选项
答案
(1)f
X
(x)=∫
一∞
+∞
f (x,y)dy=[*] f
Y
(Y)=∫
一∞
+∞
f (x,y)dx=[*] 由于f(x,y)=f
X
(x).f
Y
(y),(x,y)∈R
2
, 故X,Y相互独立. (2)F
U
(u)=P(U≤u)=P(X
2
≤u)=[*]f
X
(x)dx [*] 由于X,Y相互独立,所以U=X
2
和V=Y
2
也相互独立,从而(U,V)的密度函数为 f
UV
(uυ)=f
U
(u) f
V
(υ)=[*] 由此表明,(U,V)服从区域D
UV
={(u,υ)|0≤u≤1,0≤υ≤1}上的均匀分布. (3)由(2)可知(记D={(u,υ)|u
2
+υ
2
≤1,u≥0,υ≥0}) P(U
2
V
2
≤1)=[*]
解析
因f(x,y)的非零值部分可分解为两个仅与x、仅与y有关的函数率积g
1
(x)g
2
(y),且f(x,y)取非零值的区域也可分解出两个仅与x,与y有关的区间,据此,从直观上可看出X,Y独立,因而其函数X
2
和Y
2
也独立,求出边缘密度f
X
(x),f
Y
(y),再求出U与V的分布,利用独立性即可求得(U,V)的分布.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9BH4777K
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考研数学三
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