2. 考研
  3. 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为 (1)问X，Y是否独立？ (2)分别求U=X2和V=Y2的密度函数fU(u)和fV(v)，并指出(U，V)服从的分布； (3)求P(U2+V2≤1)．

设二维随机变量(X，Y)的密度函数为 (1)问X，Y是否独立？ (2)分别求U=X2和V=Y2的密度函数fU(u)和fV(v)，并指出(U，V)服从的分布； (3)求P(U2+V2≤1)．

admin2016-12-16  51
问题 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为

(1)问X，Y是否独立？
(2)分别求U=X2和V=Y2的密度函数fU(u)和fV(v)，并指出(U，V)服从的分布；
(3)求P(U2+V2≤1)．
选项
答案(1)fX(x)=∫一∞+∞ f (x，y)dy=[*] fY(Y)=∫一∞+∞f (x，y)dx=[*] 由于f(x，y)=fX(x)．fY(y)，(x，y)∈R2 ， 故X，Y相互独立． (2)FU(u)=P(U≤u)=P(X2≤u)=[*]fX(x)dx [*] 由于X，Y相互独立，所以U=X2和V=Y2也相互独立，从而(U，V)的密度函数为 fUV(uυ)=fU(u) fV(υ)=[*] 由此表明，(U，V)服从区域DUV={(u，υ)|0≤u≤1，0≤υ≤1}上的均匀分布． (3)由(2)可知(记D={(u，υ)|u2+υ2≤1，u≥0，υ≥0}) P(U2V2≤1)=[*]
解析 因f(x，y)的非零值部分可分解为两个仅与x、仅与y有关的函数率积g1(x)g2 (y)，且f(x，y)取非零值的区域也可分解出两个仅与x，与y有关的区间，据此，从直观上可看出X，Y独立，因而其函数X2和Y2也独立，求出边缘密度fX(x)，fY(y)，再求出U与V的分布，利用独立性即可求得(U，V)的分布．
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考研数学三

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