设直线L:. (1)求直线绕z轴旋转所得的旋转曲面, (2)求该旋转曲面介于z=0与z=1之间的几何体的体积.

admin2016-10-13  52

问题 设直线L:
    (1)求直线绕z轴旋转所得的旋转曲面,
    (2)求该旋转曲面介于z=0与z=1之间的几何体的体积.

选项

答案(1)记直线L绕z轴旋转所得的旋转曲面为∑,设M(x,y,z)为曲面∑上的一点,过点M作与z轴垂直的平面,交直线L及z轴于点M0(x0,y0,z0)及T(0,0,z), 由|M0T|=|MT|,得x2+y2=x02+y02, 注意到M0∈L,则[*]代入上式得 ∑:x2+y2=(1+2z)2+(2+z)2.即∑:x2+y2=5z2+8z+5. (2)对任意的z∈[0,1],截口面积为A(z)=π(x2+y2)=π(5z2+8z+5), 则V=∫01A(z)dz=π∫01(5z2+8z+5)dz=[*]. 设M(1+2t,2+t,t)为曲面∑上任意一点,则截口面积为 S(t)=πr2=π[(1+2t)2+(2+t)2]=π(5t2+8t+5), 则体积为 V=∫01S(t)dt=[*].

解析
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