两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和．记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A与城B的总影

admin2019-12-12 72

问题两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧

上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和．记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A与城B的总影响度为y．统计调查表明：垃圾处理厂对A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k．当垃圾处理厂建在弧

的中点时，对城A和城B的总影响度为0．065．
讨论第一问中函数的单调性，并判断弧

756上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

选项

答案因为[*] 由y’=0解得x=[*]或x=-[*](舍去)，易知[*]∈(0，20)． Y、y’随x的变化情况如下表： [*] 由表可知，函数在(0，[*])内单调递减，在([*]，20)内单调递增，当x=[*]时，y取最小值为1/16，故在[*]上存在C点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点与城A的距离x=[*]km．

解析

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