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设f(x)在[0,1]上连续,且∫01f(x)dx=0,∫01xf(x)dx=1.试证明: (1)存在x1∈[0,1]使得|f(x1)|>4; (2)存在x2∈[0,1]使得| f(x2)|=4.
设f(x)在[0,1]上连续,且∫01f(x)dx=0,∫01xf(x)dx=1.试证明: (1)存在x1∈[0,1]使得|f(x1)|>4; (2)存在x2∈[0,1]使得| f(x2)|=4.
admin
2017-07-10
68
问题
设f(x)在[0,1]上连续,且∫
0
1
f(x)dx=0,∫
0
1
xf(x)dx=1.试证明:
(1)存在x
1
∈[0,1]使得|f(x
1
)|>4;
(2)存在x
2
∈[0,1]使得| f(x
2
)|=4.
选项
答案
[*] (1)若|f(x)|≡M,由f(x)的连续性知要么f(x)≡M,要么f(x)≡一M均与∫
0
1
f(x)dx=0不符.故必存在x
0
∈[0,1]使|f(x
0
)|<M所以 [*] 从而知M>4.由于|f(x)|在[0,1]上连续,故至少存在一点x
1
∈[0,1]使|f(x
1
)|=M>4. (2)若对一切x∈[0,1]均有|f(x)|>4.由连续性知,要么一切x∈[0,1]均有f(x)>4,要么f(x)<一4.均与∫
0
1
f(x)dx=0不符.故知至少存在一点x
3
∈[0,1]使|f(x
3
)|<4,从而知存在x
2
∈[0,1]使|f(x
2
)|=4.
解析
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0
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