2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=1．试证明： (1)存在x1∈[0，1]使得|f(x1)|＞4； (2)存在x2∈[0，1]使得| f(x2)|=4．

设f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=1．试证明： (1)存在x1∈[0，1]使得|f(x1)|＞4； (2)存在x2∈[0，1]使得| f(x2)|=4．

admin2017-07-10  50
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=1．试证明：
(1)存在x1∈[0，1]使得|f(x1)|＞4；
(2)存在x2∈[0，1]使得| f(x2)|=4．
选项
答案 [*] (1)若|f(x)|≡M，由f(x)的连续性知要么f(x)≡M，要么f(x)≡一M均与∫01f(x)dx=0不符．故必存在x0∈[0，1]使|f(x0)|＜M所以 [*] 从而知M＞4．由于|f(x)|在[0，1]上连续，故至少存在一点x1∈[0，1]使|f(x1)|=M＞4． (2)若对一切x∈[0，1]均有|f(x)|＞4．由连续性知，要么一切x∈[0，1]均有f(x)＞4，要么f(x)＜一4．均与∫01f(x)dx=0不符．故知至少存在一点x3∈[0，1]使|f(x3)|＜4，从而知存在x2∈[0，1]使|f(x2)|=4．
解析
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考研数学二

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