设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得，又a=且A*a=a． (I)求正交矩阵Q； (Ⅱ)求矩阵A．

admin2016-03-26 49

问题设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得

，又a=

且A*a=a．
(I)求正交矩阵Q；
(Ⅱ)求矩阵A．

选项

答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ₁=λ₂=－1，λ₃=2，A*的特征为μ₁=μ₂=－2，μ₃=1. 因为a为A*的属于特征值μ₃=1的特征向量，所以a是A的属于特征值λ₃=2的特征向量，令a=a₃. 令A的属于特征值λ₁=λ₂=－1的特征向量为ξ=[*]，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以－x₁－x₂+x₃=0，则A的属于特征值λ₁=λ₂=－1的线性无关的特征向量为a₁=[*]，a₂=[*]．令β₁=a₁=[*]，β₂=a₂－[*]β₁=[*]，β₃=a₃. 在令r₁=[*] (Ⅱ)[*]

解析

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考研数学三

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