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已知A是三阶实对称矩阵且不可逆,又知Aα=3α,Aβ=β,其中α=(1,2,3)T,β=(5,1,t)T,则下列命题正确的是( ). ①A必可相似对角化 ②必有t=-1 ③γ=(1,16,-11)T必是A的特征向量 ④|A—E|必为0
已知A是三阶实对称矩阵且不可逆,又知Aα=3α,Aβ=β,其中α=(1,2,3)T,β=(5,1,t)T,则下列命题正确的是( ). ①A必可相似对角化 ②必有t=-1 ③γ=(1,16,-11)T必是A的特征向量 ④|A—E|必为0
admin
2019-05-15
37
问题
已知A是三阶实对称矩阵且不可逆,又知Aα=3α,Aβ=β,其中α=(1,2,3)
T
,β=(5,1,t)
T
,则下列命题正确的是( ).
①A必可相似对角化
②必有t=-1
③γ=(1,16,-11)
T
必是A的特征向量
④|A—E|必为0
选项
A、①
B、②
C、③
D、①②③④
答案
D
解析
A是实对称矩阵,故必可对角化,①正确.
实对称矩阵不同特征值的特征向量必正交,由α
T
β=5—2+3t=0,
知t=-1,故②正确.
A不可逆,于是λ=0是A的特征值,它与α,β均要正交,可求出γ是A属于λ=0的特征向量,故③正确.
由Aβ=β知,λ=1是A的特征值,故|E—A|=0.④正确.因此四个命题均正确,故选D.
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考研数学一
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