已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y"+3y’+2y=f(x)的通解．

admin2012-01-13 63

问题已知函数y=(x+1)e^x是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y"+3y’+2y=f(x)的通解．

选项

答案y=C₁e^-x+C₂e^-2x+[*]，

解析根据题意得y’=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x f(x)=y’+2y=(x+2)e^x+2.(x+1)e^x=(3x+4)e^x，则y"+3y’+2y=(3x+4)e^x．
求上式特征方程r²+3r+2=0，得r₁=-1，r₂=-2，所以，y"+3y’+2y=(3x+4)e^x的通解为y=C₁e^-x+C₂e^-2x，因为λ=1不是特征根，所以原方程的一个特解为y=(Ax+B)e^x，即y’=(Ax+A+B)e^xy"=(Ax+2A+B)e^x，上述=式代入y"+3y’+2y=(3x+4)e^x得(Ax+2A+B)e^x+3(Ax+A+B)e^x+2(Ax+B)e^x=(3x+4)e^x，化解为 6Ax+5A+6B=3x+4．解得