要制造一个容积为4m3的无盖长方形水箱，问这个水箱的长、宽、高各为多少米时，用料最省?

admin2016-02-27 27

问题要制造一个容积为4m³的无盖长方形水箱，问这个水箱的长、宽、高各为多少米时，用料最省?

选项

答案设水箱的长、宽、高分别为x，y，z，则实际要求的是，在水箱容积 xyz=4 的约束条件下，水箱表面积 S(x，y，z) =xy+2xz+2yz 的最小值。作拉格朗日函数 L(x，y，z，λ)=xy+2xz+2yz-λ(xyz-4)，得方程组 [*] 得到唯一解x=2，y=2，z=1。由于实际问题一定会存在最小值，所以该唯一解即为所求的长、宽、高。故长为2m，宽为2m，高为1m。

解析

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