2. 考研
  3. 设f(x)是在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数，an=一1nf(x)dx(n=1，2，…)．证明： 反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散．

设f(x)是在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数，an=一1nf(x)dx(n=1，2，…)．证明： 反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散．

admin2015-07-22  100
问题 设f(x)是在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数，an=一1nf(x)dx(n=1，2，…)．证明：
反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散．
选项
答案由于f(x)非负，所以∫1x f(t)dt为x的单调增加函数．当n≤x≤n+1时， ∫1n f(t)dt≤∫1x f(t)dt≤∫1n+1 f(t)dt，所以 [*] 从而推知 [*]
解析 由f(x)单调减少，当k≤x≤k+1时，可以写出关于f(x)的一个不等式，两边从k到k+1积分，便可得到关于an的一个表达式．
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考研数学三

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