设α为实n维非零列向量，αT表示α的转置．(1)证明：A=E一为对称的正交矩阵；(2)若α=(1，2，一2)T，试求出矩阵A；(3)若β为税维列向量，试证明：Aβ=β一(bc)α，其中，b、c为实常数．

admin2016-04-11 103

问题设α为实n维非零列向量，α^T表示α的转置．(1)证明：A=E一

为对称的正交矩阵；(2)若α=(1，2，一2)^T，试求出矩阵A；(3)若β为税维列向量，试证明：Aβ=β一(bc)α，其中，b、c为实常数．

选项

答案记常数b=[*]，则b＞0，A=E一bαα^T． (1)A^T=(E一bαα^T)^T=E一baa^T=A，所以A为对称矩阵．AA^T=AA=(E一bαα^T)(E—bαα^T)=E一2bαα^T+b²α(α^Tα)α^T，而α^Tα=[*]，代入上式得AA^T=E，所以A为正交矩阵． (2)[*] (3)Aβ=(E一bαα^T)β=β一bα(α^Tβ)=β一b(α^Tβ)α=β一(bc)α，其中常数c=α^Tβ．

解析

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考研数学一

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