设α为实n维非零列向量,αT表示α的转置.(1)证明:A=E一为对称的正交矩阵;(2)若α=(1,2,一2)T,试求出矩阵A;(3)若β为税维列向量,试证明:Aβ=β一(bc)α,其中,b、c为实常数.

admin2016-04-11  61

问题 设α为实n维非零列向量,αT表示α的转置.(1)证明:A=E一为对称的正交矩阵;(2)若α=(1,2,一2)T,试求出矩阵A;(3)若β为税维列向量,试证明:Aβ=β一(bc)α,其中,b、c为实常数.

选项

答案记常数b=[*],则b>0,A=E一bααT. (1)AT=(E一bααT)T=E一baaT=A,所以A为对称矩阵.AAT=AA=(E一bααT)(E—bααT)=E一2bααT+b2α(αTα)αT,而αTα=[*],代入上式得AAT=E,所以A为正交矩阵. (2)[*] (3)Aβ=(E一bααT)β=β一bα(αTβ)=β一b(αTβ)α=β一(bc)α,其中常数c=αTβ.

解析
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