2. 考研
  3. 设f(χ)在[a，b]上连续，任取χi∈[a，b](i＝1，2，…，n)，任取ki＞0(i＝1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(χ1)＋k2f(χ2)＋…＋knf(χn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．

设f(χ)在[a，b]上连续，任取χi∈[a，b](i＝1，2，…，n)，任取ki＞0(i＝1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(χ1)＋k2f(χ2)＋…＋knf(χn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．

admin2017-09-15  85
问题 设f(χ)在[a，b]上连续，任取χi∈[a，b](i＝1，2，…，n)，任取ki＞0(i＝1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(χ1)＋k2f(χ2)＋…＋knf(χn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．
选项
答案因为f(χ)在[a，b]上连续，所以f(χ)在[a，b]上取到最小值m和最大值M， 显然有m≤f(χi)≤M(i＝1，2，…，n)， 注意到ki＞0(i＝1，2，…，n)，所以有kim≤kif(χi)≤kiM(i＝1，2，…，n)， 同向不等式相加，得 (k1＋k2＋…＋kn)m≤k1f(χ1)＋k2f(χ2)＋…＋knf(χn)≤(k1＋k2＋…＋kn)M， 即m≤[*]≤M， 由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得f(ξ)＝[*] 即k1f(χ1)＋k2f(χ2)＋…＋knf(χn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．
解析
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考研数学二

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