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(2001年试题,八)设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点. (1)试求曲线L的方程; (2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围成图形的面积最小.
(2001年试题,八)设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点. (1)试求曲线L的方程; (2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围成图形的面积最小.
admin
2013-12-18
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问题
(2001年试题,八)设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点
.
(1)试求曲线L的方程;
(2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围成图形的面积最小.
选项
答案
由题设,设曲线L在点P(x,y)的切线方程为Y—y=)y
’
(X一x), 则该切线在y轴上的截距为y—y
’
x,而点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离为[*],由已知[*],即有[*]令[*],则[*]分离变量得[*]. 两边积分后将[*]代入可得[*]又由已知曲线L经过点[*]代入上式得[*]. 因此曲线L的方程为[*]曲线L:[*]在第一象限内点P(x,y)处切线为[*] 即[*]它与x轴及y轴交点分别为[*] 因而所围成图形的面积为[*]令S
’
(x)=0, 得驻点[*]当[*]时S
’
(x)<0; 当[*]S
’
(x)>0,所以[*]是s(x)的极小值点,从而也就是最小值点, 此时切线方程为[*]化简得[*]
解析
把实际问题通过建立微分方程的数学模型转化为数学问题,再对微分方程进行求解,这是解决实际问题的一种重要方法.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0134777K
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考研数学二
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