求yˊˊ－y=e｜x｜的通解．

admin2016-09-13 40

问题求yˊˊ－y=e^｜x｜的通解．

选项

答案自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(－∞，0)∪[0，+∞)分成两个方程，分别求解．由于yˊˊ=y+e^｜x｜在x=0处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在x=0处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解．当x≥0时，方程为 yˊˊ－y=e^x，求得通解 y=C₁e^x+C₂e^－x+[*]xe^x．当x＜0时，方程为 yˊˊ－y=e^－x，求得通解 y=C₃e^x+C₄e^－x－[*]xe^－x．因为原方程的解y(x)在x=0处连续且yˊ(x)也连续，据此，有 [*] 解得C₃=C₁+[*]，C₄=C₂－[*]，于是得通解： [*] 此y在x=0处连续且yˊ连续．又因yˊˊ=y+e^｜x｜，所以在x=0处yˊˊ亦连续，即是通解．

解析

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考研数学三

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