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求yˊˊ-y=e|x|的通解.
求yˊˊ-y=e|x|的通解.
admin
2016-09-13
65
问题
求yˊˊ-y=e
|x|
的通解.
选项
答案
自由项带绝对值,为分段函数,所以应将该方程按区间(-∞,0)∪[0,+∞)分成两个方程,分别求解.由于yˊˊ=y+e
|x|
在x=0处具有二阶连续导数,所以求出解之后,在x=0处拼接成二阶导数连续,便得原方程的通解. 当x≥0时,方程为 yˊˊ-y=e
x
, 求得通解 y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
+[*]xe
x
. 当x<0时,方程为 yˊˊ-y=e
-x
, 求得通解 y=C
3
e
x
+C
4
e
-x
-[*]xe
-x
. 因为原方程的解y(x)在x=0处连续且yˊ(x)也连续,据此,有 [*] 解得C
3
=C
1
+[*],C
4
=C
2
-[*],于是得通解: [*] 此y在x=0处连续且yˊ连续.又因yˊˊ=y+e
|x|
,所以在x=0处yˊˊ亦连续,即是通解.
解析
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考研数学三
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