2. 考研
  3. 设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1． 试证：对任意实数λ，存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．

设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1． 试证：对任意实数λ，存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．

admin2016-03-16  56
问题 设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1．
    试证：对任意实数λ，存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．
选项
答案记F(χ)＝[f(χ)－χ]e-λχ， 则F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)＝0． 此外，由于[*]＞0，F(1)＝[f(1)－1-]e-λ＝－e-λ＜0， 所以由连续函数零点定理知，存在η∈([*]，1)，使得F(η)＝0， 于是F(χ)在[0，η]上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点ξ∈(0，η)[*](0，1)，使得F′(ξ)＝0，即f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．
解析
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考研数学二

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