已知矩阵，试判断矩阵A和B是否相似，若相似则求出可逆矩阵P，使P—1AP=B，若不相似则说明理由。

admin2015-04-30 50

问题已知矩阵

，试判断矩阵A和B是否相似，若相似则求出可逆矩阵P，使P^—1AP=B，若不相似则说明理由。

选项

答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得到矩阵A的特征值是λ₁=3，λ₂=λ₃=一1．由矩阵B的特征多项式 [*] =(λ一3)(λ+1)²，得到矩阵B的特征值也是λ₁=3，λ₂=λ₃=一1．当λ=一1时，由秩 [*] 知(一E—A)x=0有2个线性无关的解，即λ=一1时矩阵A有2个线性无关的特征向量，矩阵A可以相似对角化．而(一E一B)x=0只有1个线性无关的解，即λ=一1时矩阵B只有1个线性无关的特征向量，矩阵B不能相似对角化．因此矩阵A和B不相似．

解析

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