2. 考研
  3. 设数列｛an｝满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．

设数列｛an｝满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．

admin2016-09-13  49
问题 设数列｛an｝满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．
选项
答案(1)显然，｛an｝是正项严格单调增加数列，且有a3=2，a4=a2+a3＜2a3=22，假设an＜2n－2，则有an+1=an+an－1＜2an＜2n－1，故由归纳法得ann－2．于是，所考虑的级数的通项有｜anxn－1｜＜[*](2x)n－1．因级数[*](2x)n－1在｜2x｜＜1时收敛，故由比较审敛法知，级数[*]anxn－1在｜2x｜＜1，即｜x｜＜[*]时绝对收敛． (2)原幂级数化为 [*] 移项后得原幂级数的和函数为[*] (3)将[*]展开为x的幂级数，有 [*] 而[*]又是幂级数[*]的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂 级数的系数， [*]
解析
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考研数学三

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