设数列｛an｝满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．

admin2016-09-13 73

问题设数列｛a_n｝满足a₁=a₂=1，且a_n+1=a_n+a_n－1，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜

时幂级数

收敛，并求其和函数与系数a_n．

选项

答案(1)显然，｛a_n｝是正项严格单调增加数列，且有a₃=2，a₄=a₂+a₃＜2a₃=2²，假设a_n＜2^n－2，则有a_n+1=a_n+a_n－1＜2a_n＜2^n－1，故由归纳法得a_{nn－2．于是，所考虑的级数的通项有｜a_nx^n－1｜＜[*](2x)^n－1．因级数[*](2x)^n－1在｜2x｜＜1时收敛，故由比较审敛法知，级数[*]a_nx^n－1在｜2x｜＜1，即｜x｜＜[*]时绝对收敛．
(2)原幂级数化为
[*]
移项后得原幂级数的和函数为[*]
(3)将[*]展开为x的幂级数，有
[*]
而[*]又是幂级数[*]的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂
级数的系数，
[*]}

解析

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考研数学三

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设数列｛an｝满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．

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[*]

[*]

设α1，α2，…，αr，β都是n维向量，β可由α1，α2，…，αr线性表示，但β不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，证明：αr可由α1，α2，…，αr-1，β线性表示．

若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，其中a＜x1＜x2＜x3＜b，证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f〞(ε)＝0．

求下列三重积分

验证函数u＝e－kn2tsinnx满足热传导方程ut＝kuxx．

求下列图形的面积：(1)y＝x2－x＋2与通过坐标原点的两条切线所围成的图形；(2)y2＝2x与点(1／2，1)处的法线所围成的图形．

判断下列级数的绝对收敛性和条件收敛性

设f(x)，g(x)在区间[-a，a](a>0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)．证明；

我国第一家自办发行的省级党委机关报是【】

味甘气香，具有杀虫消积功效，尤宜用于小儿蛔虫病及小儿疳积的药物是

《公司法》规定了不得担任公司董事、监事、高级管理人员的情形，其中包括()。

下列对于现行营业税条例及其实施细则的规定，理解正确的是()。

由于旅行社原因使得旅游者少游览了一个景点，后履行社与旅游者协商后又安排其他时间为旅游者补游览该景点，旅行社以()方式承担了违约责任。

社会政策的实施程序主要包括(　　)。

论述安史之乱的原因与影响。

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