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  3. 设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak－1α≠0．证明α，Aα，…，Ak－1α线性无关．

设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak－1α≠0．证明α，Aα，…，Ak－1α线性无关．

admin2018-04-18  56
问题 设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak－1α≠0．证明α，Aα，…，Ak－1α线性无关．
选项
答案用定义证明． 方法一 设c1α+c2Aα+…+ckAk－1α=0，要推出每个ci=0． 先用Ak－1乘上式两边，注意到当m≥k时，Amα=0(因为AkX=0)，得到c1Ak－1α=0．又因为Ak－1α≠0，所以c1=0．上式变为c2Aα+…+ckAk－1α=0．再用Ak－2乘之，可得到c2=0．如此进行下去，可证明每个ci=0． 方法二 用反证法．如果α，Aα，…，Ak－1α线性相关，则存在不全为0的c1，c2，…，ck，使得c1α+c2Aα+…+ckAk－1α=0，设其中第一个不为0的系数是ci，则ciAi－1α+…+ckAk－1α=0，用Ak－i乘之，得ciAk－1α=0．从而Ak－1α=0，与条件矛盾．
解析
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考研数学二

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