设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak－1α≠0．证明α，Aα，…，Ak－1α线性无关．

admin2018-04-18 47

问题设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组A^kX=0的一个解，但是A^k－1α≠0．证明α，Aα，…，A^k－1α线性无关．

选项

答案用定义证明．方法一设c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k－1α=0，要推出每个c_i=0．先用A^k－1乘上式两边，注意到当m≥k时，A^mα=0(因为A^kX=0)，得到c₁A^k－1α=0．又因为A^k－1α≠0，所以c₁=0．上式变为c₂Aα+…+c_kA^k－1α=0．再用A^k－2乘之，可得到c₂=0．如此进行下去，可证明每个c_i=0．方法二用反证法．如果α，Aα，…，A^k－1α线性相关，则存在不全为0的c₁，c₂，…，c_k，使得c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k－1α=0，设其中第一个不为0的系数是c_i，则c_iA^i－1α+…+c_kA^k－1α=0，用A^k－i乘之，得c_iA^k－1α=0．从而A^k－1α=0，与条件矛盾．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AVk4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak－1α≠0．证明α，Aα，…，Ak－1α线性无关．

考研数学二

A、 B、 C、 D、 C

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=__________．

k(-1,1,0)T,其中k为任意常数

设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，又α1＝(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．(I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B．

求f(x，y，z)＝lnx＋2lny＋3lnz存球面x2＋y2＋z2＝6r2(r＞0)上的最大值，并由此证明：对任意正数a，b，c成立

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a1=(-1，2，-1)T，a2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTQ=L；(Ⅲ)求A及(A-(3/2)E)6，其中E为三

设A为n阶方阵，A为A的伴随矩阵，且A11≠0，证明：方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为Ax=0的解．

在曲线y=(x-1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x轴及该曲线所围成的区域为D(y≥0)，则区域D绕x轴旋转一周所成的几何体的体积为__________．

设平面内区域D由直线x＝3y，y＝3x，及x＋y＝8围成，计算二重积分。

女，45岁，外伤脾破裂，失血性休克手术行脾切除术后，脉搏110次／分，血压100／60mmHg，呼吸窘迫，烦躁不安，呼吸频率35次／分，PaO252mmHg，考虑ARDS，对患者的处理中不恰当的是

在行政诉讼中，下列选项中哪些适用确认判决?()

拟建年产80万t的乙醇装置，已知乙醇市场单价为4500元/t，根据资金周转率法计算出的拟建项目的投资额为130000万元。则该项目的资金周转率应为()。

实施幼儿园德育最基本的途径是()

CharlotteWhiteheadwasborninEnglandin1843,andmovedtoMontreal,Canadaattheagefivewithherfamily.While【C1】______h

瓦特.泰勒起义

下列选项中，属于宋朝继承方式的有()。

(2010年上半年)项目经理管理项目团队有时需要解决冲突，(49)属于解决冲突的范畴。

8086CPU经加电复位后，执行第一条指令的地址是(　　　)。

指针变量所保存的不是一般的数据值，而是程序中另一个对象的__________。

设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak－1α≠0．证明α，Aα，…，Ak－1α线性无关．

考研数学二

A、 B、 C、 D、 C

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=__________．

k(-1,1,0)T,其中k为任意常数

设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，又α1＝(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．(I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B．

求f(x，y，z)＝lnx＋2lny＋3lnz存球面x2＋y2＋z2＝6r2(r＞0)上的最大值，并由此证明：对任意正数a，b，c成立

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a1=(-1，2，-1)T，a2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTQ=L；(Ⅲ)求A及(A-(3/2)E)6，其中E为三

设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且A11≠0，证明：方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为A*x=0的解．

在曲线y=(x-1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x轴及该曲线所围成的区域为D(y≥0)，则区域D绕x轴旋转一周所成的几何体的体积为__________．

设平面内区域D由直线x＝3y，y＝3x，及x＋y＝8围成，计算二重积分。

女，45岁，外伤脾破裂，失血性休克手术行脾切除术后，脉搏110次／分，血压100／60mmHg，呼吸窘迫，烦躁不安，呼吸频率35次／分，PaO252mmHg，考虑ARDS，对患者的处理中不恰当的是

在行政诉讼中，下列选项中哪些适用确认判决?()

拟建年产80万t的乙醇装置，已知乙醇市场单价为4500元/t，根据资金周转率法计算出的拟建项目的投资额为130000万元。则该项目的资金周转率应为()。

实施幼儿园德育最基本的途径是()

CharlotteWhiteheadwasborninEnglandin1843,andmovedtoMontreal,Canadaattheagefivewithherfamily.While【C1】______h

瓦特.泰勒起义

下列选项中，属于宋朝继承方式的有()。

(2010年上半年)项目经理管理项目团队有时需要解决冲突，(49)属于解决冲突的范畴。

8086CPU经加电复位后，执行第一条指令的地址是( )。

指针变量所保存的不是一般的数据值，而是程序中另一个对象的__________。

设A为n阶方阵，A为A的伴随矩阵，且A11≠0，证明：方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为Ax=0的解．

8086CPU经加电复位后，执行第一条指令的地址是(　　　)。