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已知定义在(-∞,+∞)上的可导函数f(x)满足方程xf(x)-4∫1xf(t)=x3-3,试求: (1)函数f(x)的表达式; (2)函数f(x)的单调区间与极值; (3)曲线f(x)的凹凸区间与拐点.
已知定义在(-∞,+∞)上的可导函数f(x)满足方程xf(x)-4∫1xf(t)=x3-3,试求: (1)函数f(x)的表达式; (2)函数f(x)的单调区间与极值; (3)曲线f(x)的凹凸区间与拐点.
admin
2013-11-20
58
问题
已知定义在(-∞,+∞)上的可导函数f(x)满足方程xf(x)-4∫
1
x
f(t)=x
3
-3,试求:
(1)函数f(x)的表达式;
(2)函数f(x)的单调区间与极值;
(3)曲线f(x)的凹凸区间与拐点.
选项
答案
①f(x)=x
3
-3x
2
. ②单调区间:(-∞,0)U(2,+∞)递增 (0,2)递减 极值:x=0时极大值0,x=2时极小值-4. ③x∈(-∞,1),凹区间,x∈(1,+∞),凸区间,拐点:(1,-2).
解析
①因为f(x)+xf(x)-4(2x)=3x
2
(对方程两边求导),即y’-
=3x.所以P(x)=
,Q(x)=3x,y=-3x
2
+Cx
3
.由题意得f(1)=-2,所以C=1.所以f(x)=x
3
-3x
2
.
②令f’(x)=3x
2
-6x=0,则x
1
=0,x
2
=2,当在(-∞,0)U(2,+∞)函数单调递增;当在(0,2)函数单调递减.所以在x=0处取极大值f(4)=0,在x=2取极小值f(2)=-4.
③令f"(x)=6x-6=0,得x
3
=1,所以当x∈(-∞,1)时,为凹区间;当z∈(1,+∞)为凸区间,拐点为(1,-2).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Al1C777K
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数学
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