2. 专升本
  3. 已知定义在(-∞，+∞)上的可导函数f(x)满足方程xf(x)-4∫1xf(t)=x3-3，试求： (1)函数f(x)的表达式； (2)函数f(x)的单调区间与极值； (3)曲线f(x)的凹凸区间与拐点．

已知定义在(-∞，+∞)上的可导函数f(x)满足方程xf(x)-4∫1xf(t)=x3-3，试求： (1)函数f(x)的表达式； (2)函数f(x)的单调区间与极值； (3)曲线f(x)的凹凸区间与拐点．

admin2013-11-20  52
问题 已知定义在(-∞，+∞)上的可导函数f(x)满足方程xf(x)-4∫1xf(t)=x3-3，试求：
  (1)函数f(x)的表达式；
  (2)函数f(x)的单调区间与极值；
  (3)曲线f(x)的凹凸区间与拐点．
选项
答案①f(x)=x3-3x2． ②单调区间：(-∞，0)U(2，+∞)递增 (0，2)递减 极值：x=0时极大值0，x=2时极小值-4． ③x∈(-∞，1)，凹区间，x∈(1，+∞)，凸区间，拐点：(1，-2)．
解析 ①因为f(x)+xf(x)-4(2x)=3x2(对方程两边求导)，即y’-=3x．所以P(x)=，Q(x)=3x，y=-3x2+Cx3．由题意得f(1)=-2，所以C=1．所以f(x)=x3-3x2．
②令f’(x)=3x2-6x=0，则x1=0，x2=2，当在(-∞，0)U(2，+∞)函数单调递增；当在(0，2)函数单调递减．所以在x=0处取极大值f(4)=0，在x=2取极小值f(2)=-4．
③令f"(x)=6x-6=0，得x3=1，所以当x∈(-∞，1)时，为凹区间；当z∈(1，+∞)为凸区间，拐点为(1，-2)．
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