设f(χ)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f(1)＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)＝

admin2017-09-15 76

问题设f(χ)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f(1)＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)＝

选项

答案令φ(χ)＝(χ－1)²f′(χ)，显然φ(χ)在[0，1]上可导．由f(0)＝f(1)＝0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f′(c)＝0，再由φ(c)＝φ(1)＝0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝2(χ－1)f′(χ)＋(χ－1)²f〞(χ)，所以2(ξ－1)f′(ξ)＋(ξ－1)²f〞(ξ)＝0，整理得f〞(ξ)＝[*]

解析

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