设f(χ)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得f〞(ξ)=

admin2017-09-15  36

问题 设f(χ)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得f〞(ξ)=

选项

答案令φ(χ)=(χ-1)2f′(χ),显然φ(χ)在[0,1]上可导.由f(0)=f(1)=0,根据罗尔定理,存在c∈(0,1),使得f′(c)=0,再由φ(c)=φ(1)=0,根据罗尔定理,存在ξ∈(c,1)[*](0,1),使得φ′(ξ)=0,而φ′(χ)=2(χ-1)f′(χ)+(χ-1)2f〞(χ),所以2(ξ-1)f′(ξ)+(ξ-1)2f〞(ξ)=0,整理得f〞(ξ)=[*]

解析
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