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设f(x,y)二阶连续可偏导,g(x,y)=f(exy,x2+y2),且 证明:g(x,y)在(0,0)处取极值,并判断是极大值还是极小值,求极值.
设f(x,y)二阶连续可偏导,g(x,y)=f(exy,x2+y2),且 证明:g(x,y)在(0,0)处取极值,并判断是极大值还是极小值,求极值.
admin
2016-09-12
50
问题
设f(x,y)二阶连续可偏导,g(x,y)=f(e
xy
,x
2
+y
2
),且
证明:g(x,y)在(0,0)处取极值,并判断是极大值还是极小值,求极值.
选项
答案
由f(x,y)=1-x-y+[*]得 f(x,y)=-(x-1)-y+[*] 由可微的定义得 f(1,0)=0,f’
x
(1,0)=f’
y
(1,0)=-1. [*]=xe
xy
f’
2
+2yf’
2
,g’
x
(0,0)=0,g’
y
(0,0)=0. [*]=y
2
e
xy
yf’
1
+ye
xy
(ye
xy
f’’
11
+2xf’’
12
)+2f’
1
+2x(ye
xy
f’’
21
+2xf’’
22
), [*]=(e
xy
+xye
xy
)f’
1
+ye
xy
(xe
xy
f’’
11
+2yf’’
12
)+2x(xe
xy
f’’
21
+2yf’’
22
), [*]=x
2
e
xy
f’
1
+xe
xy
(xe
xy
f’’
11
+2yf’’
12
)+2f’
2
+2y(xe
xy
f’’
21
+2yf’’
22
), 则A=g’’
xx
(0,0)=-2,B=g’’
xy
(0,0)=-1,C=g’’
yy
(0,0)=-2, 因为AC-B
2
=3>0且A<0,所以g(x,y)在(0,0)处取到极大值,极大值为g(0,0)=0.
解析
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考研数学二
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