设n阶矩阵A=，证明行列式｜A｜=(n+1)an．

admin2016-10-20 67

问题设n阶矩阵A=

，证明行列式｜A｜=(n+1)aⁿ．

选项

答案(用数学归纳法) 记D_n=｜A｜=[*] 当n=1时，D₁=2n，命题D_n=(n+1)aⁿ正确．当n=2时，D₂=[*]=3a²，命题D_n=(n+1)aⁿ正确．设n＜k时，命题D_n=(n+1)ⁿ正确，对D_k按第一列展开得 [*] =2aD_k-1-a²D_k-2，按归纳假设D_k-1=ka^k-1，D_k-2=(k-1)a^k-2，从而 D_k=2a(ka^k-1)-a²(k-1)a^k-2=(k+1)a^k．所以[*]，命题D_n=｜A｜=(n+1)aⁿ正确．

解析

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考研数学三

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