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设向量组α1,α2,…,αm(m>1)线性无关,且β=α1+α2+…+αm,证明向量组:β-α1,β-α2,…,β-αm线性无关。
设向量组α1,α2,…,αm(m>1)线性无关,且β=α1+α2+…+αm,证明向量组:β-α1,β-α2,…,β-αm线性无关。
admin
2016-02-27
30
问题
设向量组α
1
,α
2
,…,α
m
(m>1)线性无关,且β=α
1
+α
2
+…+α
m
,证明向量组:β-α
1
,β-α
2
,…,β-α
m
线性无关。
选项
答案
设存在λ
1
,λ
2
,…,λ
m
,使λ
1
(β-α
1
)+λ
2
(β-α
2
)+…+λ
m
(β-α
m
)=0,即(λ
2
+λ
3
+…+λ
m
)α
1
+(λ
1
+λ
3
+…+λ
m
)α
2
+…+(λ
1
+λ
2
+…+λ
m-1
)α
m
=0,由于α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关,所以有 [*] 该线性方程组的系数矩阵的行列式 [*] 所以方程组只有零解,即λ
1
=λ
2
=…=λ
m
=0,故向量组β-α
1
,β-α
2
,…,β-α
m
线性无关。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ArbD777K
0
考研数学二
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