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已知A是三阶矩阵,αi(i=1,2,3)是三维非零列向量,令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi(i=1,2,3),证明:α,Aα,A2α线性无关。
已知A是三阶矩阵,αi(i=1,2,3)是三维非零列向量,令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi(i=1,2,3),证明:α,Aα,A2α线性无关。
admin
2017-08-28
36
问题
已知A是三阶矩阵,α
i
(i=1,2,3)是三维非零列向量,令α=α
1
+α
2
+α
3
。若Aα
i
=iα
i
(i=1,2,3),证明:α,Aα,A
2
α线性无关。
选项
答案
由Aα
i
=iα
i
(i=1,2,3),且α
j
(i=1,2,3)非零可知,α
1
,α
2
,α
3
是矩阵A的属于不同特征值的特征向量,故α
1
,α
2
,α
3
线性无关。又 Aα=α
1
+2α
2
+3α
3
,A
2
α=α
1
+4α
2
+9α
3
, 所以 (α,Aα,A
2
α)=(α
1
,α
2
,α
3
)[*]=(α
1
,α
2
,α
3
)P, 而矩阵P是范德蒙德行列式,故|P|=2≠0,所以α,Aα,A
2
α线性无关。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/B1r4777K
0
考研数学一
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