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  3. 已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解， (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求齐次方程组(i)的解； (Ⅲ)求齐次方程(ii)的解．

已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解， (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求齐次方程组(i)的解； (Ⅲ)求齐次方程(ii)的解．

admin2015-05-07  32
问题 已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，
    (Ⅰ)求a的值；
    (Ⅱ)求齐次方程组(i)的解；
    (Ⅲ)求齐次方程(ii)的解．
选项
答案(Ⅰ)因为方程组(i)的解全是(ii)的解，所以(i)与(iii)[*]同解． 那么(i)和(iii)的系数矩阵[*]有相同的秩 如a=0，则r(A)=1，而r(B)=2，所以下设a≠0．由于 [*] 因为a和a－1不能同时为0，故秩r(A)=3．又 [*] 当a=[*]时，r(B)=3，此时(i)与(iii)同解． [*] 则通解是kη，其中k为任意实数． (Ⅲ)由于x1+x2+x3=0的基础解系为η1=(－1，1，0，0)T，η2=(－1，0，1，0)T，η3=(0，0，0，1)T，则通解是k1η1+k2η2+k3η3，其中k1，k2，k3是任意实数．
解析
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考研数学一

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