已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解, (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求齐次方程组(i)的解; (Ⅲ)求齐次方程(ii)的解.

admin2015-05-07  36

问题 已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解,
    (Ⅰ)求a的值;
    (Ⅱ)求齐次方程组(i)的解;
    (Ⅲ)求齐次方程(ii)的解.

选项

答案(Ⅰ)因为方程组(i)的解全是(ii)的解,所以(i)与(iii)[*]同解. 那么(i)和(iii)的系数矩阵[*]有相同的秩 如a=0,则r(A)=1,而r(B)=2,所以下设a≠0.由于 [*] 因为a和a-1不能同时为0,故秩r(A)=3.又 [*] 当a=[*]时,r(B)=3,此时(i)与(iii)同解. [*] 则通解是kη,其中k为任意实数. (Ⅲ)由于x1+x2+x3=0的基础解系为η1=(-1,1,0,0)T,η2=(-1,0,1,0)T,η3=(0,0,0,1)T,则通解是k1η1+k2η2+k3η3,其中k1,k2,k3是任意实数.

解析
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