（2006年真题）如图4．11所示，函数f(x)是以2为周期的连续周期函数，它在[0，2]上的图形为分段直线，g(x)是线性函数，则∫0πf(g(x))dx=[ ]。

admin2015-04-14 109

问题（2006年真题）如图4．11所示，函数f(x)是以2为周期的连续周期函数，它在[0，2]上的图形为分段直线，g(x)是线性函数，则∫₀^πf(g(x))dx=[ ]。

选项 A、

B、1
C、

D、

答案B

解析本题考查定积分的几何意义，定积分换元法及周期函数的定积分性质。先求g(x)的表达式，由图形可知，线性函数g(x)的斜率为

=3，因此g(x)=3x+1，g’(x)=3。在∫₀²(g(x))dx中令g(x)=0，则当t=0时t=1；t=2时t=7，且g’(x)dx=dt,于是∫₀²f(g(x))dx=

∫₁⁷f(t)dt。由于函数f(x)是以2为周期的连续函数，所以它在每一个周期上的积分相等，因此∫₀¹f(t)dt=3∫₀²f(t)dt。根据定积分的几何意义，∫₀²f(t)dt=

×2×1=1。从而∫₀²f(g(x))dx=

∫₁⁷f(t)dt=

×3∫₀²(t)dt=1。故正确选项为B。

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GCT工程硕士（数学）

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