设f=XTAX,g=XTBX是两个n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是( )

admin2019-05-12  35

问题 设f=XTAX,g=XTBX是两个n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是(    )

选项 A、XT(A+B)X
B、XTA-1X
C、X*B-1X
D、XTABX

答案D

解析 因为f是正定二次型,A是n阶正定阵,所以A的n个特征值λ1,λ2,…,λn都大于零,|A|>0,设APj=λjPj,则A-1pjPj,A-1的n个特征值(j=1,2,…,n)必都大于零,这说明A-1为正定阵,XTA-1X为正定二定型.
    同理,XTBX-1为正定二次型,对任意n维非零列向量X都有X(A+B)X=XTAX+XTBX>0,这说明XT(A+B)X为正定二次型.由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵,所以XTABX未必为正定二次型.
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