设f＝XTAX，g＝XTBX是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )

admin2019-05-12 38

问题设f＝X^TAX，g＝X^TBX是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )

选项 A、X^T(A＋B)X
B、X^TA^-1X
C、X^*B^-1X
D、X^TABX

答案D

解析因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ₁，λ₂，…，λ_n都大于零，｜A｜＞0，设AP_j＝λ_jP_j，则A^-1p_j＝

P_j，A^-1的n个特征值

(j＝1，2，…，n)必都大于零，这说明A^-1为正定阵，X^TA^-1X为正定二定型．
同理，X^TBX^-1为正定二次型，对任意n维非零列向量X都有X(A＋B)X＝X^TAX＋X^TBX＞0，这说明X^T(A＋B)X为正定二次型．由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以X^TABX未必为正定二次型．

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