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设f=XTAX,g=XTBX是两个n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是( )
设f=XTAX,g=XTBX是两个n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是( )
admin
2019-05-12
35
问题
设f=X
T
AX,g=X
T
BX是两个n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是( )
选项
A、X
T
(A+B)X
B、X
T
A
-1
X
C、X
*
B
-1
X
D、X
T
ABX
答案
D
解析
因为f是正定二次型,A是n阶正定阵,所以A的n个特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
n
都大于零,|A|>0,设AP
j
=λ
j
P
j
,则A
-1
p
j
=
P
j
,A
-1
的n个特征值
(j=1,2,…,n)必都大于零,这说明A
-1
为正定阵,X
T
A
-1
X为正定二定型.
同理,X
T
BX
-1
为正定二次型,对任意n维非零列向量X都有X(A+B)X=X
T
AX+X
T
BX>0,这说明X
T
(A+B)X为正定二次型.由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵,所以X
T
ABX未必为正定二次型.
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考研数学一
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